Дифференциальные уравнения для чайников: примеры решения диффуров (ду) в математике

Порядок дифференциального уравнения и его решения, задача Коши

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, неизвестную функцию этой переменной и её производные (или дифференциалы) различных порядков.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, содержащейся в нём.

Кроме обыкновенных изучаются также дифференциальные уравнения с частными производными. Это уравнения, связывающие независимые переменные, неизвестную функцию этих переменных и её частные производные по тем же переменным. Но мы будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения и поэтому будем для краткости опускать слово “обыкновенные”.

Примеры дифференциальных уравнений:

(1);

(2);

(3);

(4);

(5).

Уравнение (1) – четвёртого порядка, уравнение (2) – третьего порядка, уравнения (3) и (4) – второго порядка, уравнение (5) – первого порядка.

Дифференциальное уравнение n-го порядка не обязательно должно содержать явно функцию, все её производные от первого до n-го порядка и независимую переменную. В нём могут не содержаться явно производные некоторых порядков, функция, независимая переменная.

Обратите внимание

Например, в уравнении (1) явно нет производных третьего и второго порядков, а также функции; в уравнении (2) – производной второго порядка и функции; в уравнении (4) – независимой переменной; в уравнении (5) – функции. Только в уравнении (3) содержатся явно все производные, функция и независимая переменная.

Решением дифференциального уравнения называется всякая функция y = f(x), при подстановке которой в уравнение оно обращается в тождество.

Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется его интегрированием.

Пример 1. Найти решение дифференциального уравнения.

Решение. Запишем данное уравнение в виде. Решение состоит в нахождении функции по её производной. Изначальная функция, как известно из интегрального исчисления, есть первообразная для, т. е.

.

Это и есть решение данного дифференциального уравнения. Меняя в нём C, будем получать различные решения. Мы выяснили, что существует бесконечное множество решений дифференциального уравнения первого порядка.

Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка называется его решение, выраженное явно относительно неизвестной функции и содержащее n независимых произвольных постоянных, т. е.

Решение дифференциального уравнения в примере 1 является общим.

Частным решением дифференциального уравнения называется такое его решение, в котором произвольным постоянным придаются конкретные числовые значения.

Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравненияи частное решение при.

Решение. Проинтегрируем обе части уравнения такое число раз, которому равен порядок дифференциального уравнения.

,

,

.

В результате мы получили общее решение –

данного дифференциального уравнения третьего порядка.

Теперь найдём частное решение при указанных условиях. Для этого подставим вместо произвольных коэффициентов их значения и получим

.

Если кроме дифференциального уравнения задано начальное условие в виде, то такая задача называется задачей Коши. В общее решение уравнения подставляют значенияии находят значение произвольной постоянной C, а затем частное решение уравнения при найденном значении C. Это и есть решение задачи Коши.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

Пример 3. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения из примера 1 при условии.

Решение. Подставим в общее решениезначения из начального условия y = 3, x = 1. Получаем

.

Важно

Записываем решение задачи Коши для данного дифференциального уравнения первого порядка:

.

При решении дифференциальных уравнений, даже самых простых, требуются хорошие навыки интегрирования и взятия производных, в том числе сложных функций. Это видно на следующем примере.

Пример 4. Найти общее решение дифференциального уравнения.

Решение. Уравнение записано в такой форме, что можно сразу же интегрировать обе его части.

.

Применяем метод интегрирования заменой переменной (подстановкой). Пусть, тогда.

Требуется взять dx и теперь – внимание – делаем это по правилам дифференцирования сложной функции, так как x и есть сложная функция (“яблоко” – извлечение квадратного корня или, что то же самое – возведение в степень “одна вторая”, а “фарш” – самое выражение под корнем):

Находим интеграл:

Возвращаясь к переменной x, получаем:

.

Это и есть общее решение данного дифференциального уравнения первой степени.

Не только навыки из предыдущих разделов высшей математики потребуются в решении дифференциальных уравнений, но и навыки из элементарной, то есть школьной математики.

Как уже говорилось, в дифференциальном уравнении любого порядка может и не быть независимой переменной, то есть, переменной x.

Помогут решить эту проблему не забытые (впрочем, у кого как) со школьной скамьи знания о пропорции. Таков следующий пример.

Пример 5. Найти общее решение дифференциального уравнения.

Решение. Как видим, переменная x в уравнении отсутствует. Вспоминаем из курса дифференциального исчисления, что производная может быть записана также в виде. В результате уравнение приобретает вид

,

то есть, в нём в некотором виде появился x.

Совет

Теперь вспомнаем одно из свойств пропорции: из пропорциивыткают следующие пропорции:

,

то есть в пропорции можно менять местами крайние и средние члены или те и другие одновременно.

Применяя это свойство, преобразуем уравнение к виду

,

после чего интегрируем обе части уравнения:

.

Оба интеграла – табличные, находим их:

и получаем решение данного дифференциалного уравнения первого порядка:

.

Эта статья представила необходимый минимум сведений о дифференциальных уравнениях и их решениях и должна помочь вам уверенно и увлечённо перейти к изучению различных видов дифференциальных уравнений.

Пройти тест по теме Дифференциальные уравнения

Всё по теме “Дифференциальные уравнения”

Порядок дифференциального уравнения и его решения, задача КошиДифференциальные уравнения с разделяющимися переменнымиОднородные дифференциальные уравнения первого порядкаЛинейные дифференциальные уравнения первого порядкаДифференциальные уравнения БернуллиДифференциальные уравнения в полных дифференциалахДифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка

Поделиться с друзьями

Источник: https://function-x.ru/differential_equations1.html

Дифференциальные уравнения. Что это?

Вы уже имеете находить производные и интегралы? Тогда настало самое время, чтобы перейти к более сложной теме, а именно, решению дифференциальных уравнений (ДУ, в простонародье диффуров). Но не все так страшно, как кажется на первый взгляд.
 

Дифференциальное уравнение: что это такое?

Дифференциальное уравнение (ДУ) – это уравнение, которое вместе с самой функцией (и ее аргументами), содержит еще и ее производную или несколько производных.
 

Читайте также:  Фильмы о студенческой жизни, сериалы про студенческую жизнь: что посмотреть на досуге

Дифференциальное уравнение: что нужно знать еще?

Первое (и главное), что понадобится, это умение правильно определять тип дифференциального уравнения. Второе, но не менее важное, это умение хорошо интегрировать и дифференцировать.
 

Не секрет, что дифференциальные уравнения бывают разных типов. Но… для начала отметим, что ДУ бывают разных порядков. Порядок ДУ — это порядок высшей производной, входящей в дифференциальное уравнение. Классификацию ДУ согласно порядку уравнения можно посмотреть в следующей таблице:
 

Порядок уравненияВид уравненияПример
I
II
n

Наиболее часто приходится иметь дело с ДУ первого и второго порядка, реже третьего. В 99% случаев в задачах встречаются три типа ДУ первого порядка: уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения и линейные неоднородные уравнения.

Иногда еще встречаются более редкие типы ДУ: уравнения в полных дифференциалах, уравнения Бернулли и др.

Среди ДУ второго порядка часто встречаются уравнения, приводящиеся к ДУ первого порядка, линейные однородные и неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами.
 

Дифференциальное уравнение: решение – что это значит и как его найти?

При решении ДУ нам предлагается найти либо общее решение (общий интеграл), либо частное решение. Общее решение y = f(x, C) зависит от некоторой постоянной (С — const), а частное решение не зависит: y = f(x, C0).

С геометрической точки зрения общее решение – это семейство кривых на координатной плоскости, а частное решение – это одна прямая этого семейства, проходящая через некоторую точку.

Давайте рассмотрим примеры решения некоторых ДУ. Начнем с ДУ первого порядка с разделяющимися переменными:

Здесь все очень просто как на уроке физкультуры, когда ученики класса делятся на две команды, в одну из которых входят только мальчики, а в другую – только девочки. Применительно к уравнению делаем следующее: в левую часть от знака равенства переносим все то, что содержит переменную y, а в правую часть – переменную x.
Получаем:

Далее интегрируем обе части:

Итоговое общее решение выглядит следующим образом: y = C(x-1) — 2. Все оказалось очень просто, не правда ли?
 

Не сложнее и решение однородных ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами. Здесь всего-то и нужно знать из курса школьной алгебры, как решаются квадратные уравнения, а из курса по ДУ, как правильно записать общее решение.
 

Для наглядности рассмотрим пример:

Составляем характеристическое уравнение, заменяя переменную y на переменную k, а количество штрихов соответствующей степенью (два штриха – степень 2, один штрих – степень 1, нет штрихов – степень 0). Получаем квадратное уравнение, решить которое можно с помощью дискриминанта или теоремы Виета:

Обратите внимание

После того, как корни характеристического уравнения найдены, вспоминаем правила записи общего решения однородного ДУ:

  1. Корни характеристического уравнения являются действительными и различными. Общее решение записывается в виде:
  2. Корни характеристического уравнения являются комплексными. Общее решение записывается в виде:
  3. Корни характеристического уравнения являются действительными и равными. Общее решение записывается в виде:

Вспоминаем, что наше уравнение имеет два различных действительных корня. Следовательно, общее решение запишем в виде:

Решение линейных неоднородных ДУ с постоянными коэффициентами выполняется в два этапа:
 

  1. нахождение общего решения линейного однородного ДУ;
  2. нахождение и частного решения линейного неоднородного ДУ.

Выполнение первого этапа рассмотрено на примере чуть раньше. То, в каком виде мы будем искать частное решение неоднородного ДУ, зависит от того, что стоит в уравнении справа от знака равенства. Все возможные случаи подробно рассматривают в учебной литературе.
 

Итак, тема «Решение задач по дифференциальным уравнениям» изучается в ВУЗах, но, как было показано выше, решить некоторые ДУ может и школьник.
 

Дифференциальные уравнения и методы их решения рассматриваются практически в каждом учебнике по высшей математике и математическому анализу. Особенно хорошо данная тема рассмотрена в учебнике автора Пискунов Н.С.

, а называется он «Дифференциальное и интегральное исчисления: Учеб. Для втузов. В 2-х т. Т. II».

С помощью данного учебника можно самостоятельно изучить методы решения тех типов ДУ, которые не были рассмотрены в данной статье.  

Решение дифференциальных уравнений на заказ

У нас вы можете выгодно заказать решение задач с дифференциальными уравнениями. Нами накоплен большой опыт решения заданий по данной дисциплине, которым мы готовы поделиться с вами. Работа будет оформлена очень подробно. При заказе большого количества задач действует скидка. Купить решение можно, сделав заказ у нас на сайте.

Источник: https://Reshatel.org/reshenie-zadach/diffur/

Ду с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение вида:$$ f_1(x)g_1(y)dy=f_2(x)g_2(y)dx $$называют дифференциальным уравнением 1-го порядка с разделяющимися переменными. В данном разделе математики эти уравнения самые лёгкие в решении.

Формула

Для решения существует универсальный алгоритм: 

  1. Суть его состоит в том, чтобы обе части ду разделить на произведение функций, зависящих от разных переменных: $$ f_1(x)g_2(y) $$
  2. Таким образом мы приводим исходное уравнение, заданное по условию, к виду:  $$ frac{g_1(y)}{g_2(y)} dy = frac{f_2(x)}{f_1(x)}dx $$
  3. Далее необходимо проинтегрировать обе части уравнения, из которых мы получим функцию y(x): $$ int frac{g_1(y)}{g_2(y)} dy = int frac{f_2(x)}{f_1(x)}dx $$

Примеры решений

Пример 1
Решить уравнение: $$ (x^2+9)y'=4xy $$
Решение
Решение как всегда начнем с анализа типа дифференциального уравнения. Данное уравнение попадает под определение ДУ первого порядка с разделяющимися переменными. А значит, начнем действовать по алгоритму решения. Распишем подробно: $$ y' = frac{dy}{dx} $$Далее разделим обе части уравнения на произведение двух функций: $$ y(x^2+9) $$Получаем:$$ frac{dy}{y} = frac{4xdx}{x^2+9} $$Возьмем интеграл от обеих частей последнего равенства:$$ int frac{dy}{y} = int frac{4xdx}{x^2+9} $$Используя формулы и методы интегрирования, получаем: $$ ln|y| = 2 int frac{d(x^2+9)}{x^2+9} $$$$ ln|y| = 2 ln|x^2+9|+C $$Общее решение: $$ y = C cdot (x^2+9)^2, C = const $$Как видим ответ легко получен и записан в последней строчке.Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
Ответ
$$ y = C cdot (x^2+9)^2, C = const $$
Читайте также:  Как улучшить работу мозга и развить память. советы как повысить умственные способности
Пример 2
Решить ДУ первого порядка с разделяющимися переменными: $$ xsqrt{1-y^2}dx + ysqrt{1-x^2}dy=0 $$
Решение
Перенесем  первое слагагаемое, содержащее dx в правую часть для удобства решения: $$ ysqrt{1-x^2}dy = – xsqrt{1-y^2}dx $$Разделим обе части на выражение: $$ sqrt{1-x^2} cdot sqrt{1-y^2} $$Получаем: $$ frac{ydy}{1-y^2} = -frac{xdx}{1-x^2} $$Как положено алгоритмом возьмем интегралы: $$ int frac{ydy}{1-y^2} = – int frac{xdx}{1-x^2} $$$$ -frac{1}{2} int frac{d(1-y^2)}{1-y^2} = frac{1}{2} int frac{d(1-x^2)}{1-x^2} $$$$ -frac{1}{2} ln|1-y^2| = frac{1}{2} ln|1-x^2|+C $$$$ ln|1-y^2| = – ln|1-x^2|+C $$Искомое решение: $$ 1-y^2 = frac{C}{1-x^2} $$Получаем ответ, в виде: $$ 1-y^2 = frac{C}{1-x^2} $$$$ y_{1,2} = pm sqrt{1-frac{C}{1-x^2}} $$
Ответ
$$ y_{1,2} = pm sqrt{1-frac{C}{1-x^2}} $$
Пример 3
Решить ДУ 1-го порядка разделяя переменные: $$ cos^2xdy=sin^2ydx $$
Решение
Решаем: $$ frac{dy}{sin^2y}=frac{dx}{cos^2x} $$$$ int frac{dy}{sin^2y}=int frac{dx}{cos^2x} $$$$ -ctgy = tgx + C $$
Ответ
$$ y = arcctg(-tgx+C) $$
Пример 4
Найти общее решение Ду с разделяющимися переменными: $$ y'e^{x+y}=1 $$
Решение
Решать начнем с того, что воспользуемся свойством:$$ e^{x+y} = e^x cdot e^y $$Получаем, $$ y'e^xcdot e^y = 1 $$Разделяем переменные, $$ e^y dy=frac{dx}{e^x} $$Спокойно интегрируем уравнение, $$ int e^y dy= int frac{dx}{e^x} $$$$ e^y= int e^{-x} = -e^{-x} + C $$Отсюда ответ, $$ y=ln(-e^{-x}+C) $$
Ответ
$$ y=ln(-e^{-x}+C) $$
Пример 5
Решить задачу Коши: $$ x^2 y'=y^2, y(1)=1 $$
Решение
Найдем для начала общее решение ДУ: $$ frac{dy}{y^2}=frac{dx}{x^2} $$$$ int frac{dy}{y^2}=int frac{dx}{x^2} $$$$ -frac{1}{y}= -frac{1}{x} + C $$Отсюда получается общее решение: $$ y = frac{1}{frac{1}{x}+C} $$Решить задачу Коши это значит, найти постоянную $ С $ из дополнительного условия $ y(1)=1 $. Чтобы это проделать нужно подставить в общее решение $ x = 1 $ и $ y = 1 $.$$ frac{1}{1+C}=1 $$$$ 1+C=1 $$$$ C=0 $$Теперь, подставляя найденное $ С = 0 $ в общее решение, записываем ответ: $$ y = x $$
Ответ
$$ y = x $$

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ

Источник: https://xn--24-6kcaa2awqnc8dd.xn--p1ai/du-s-razdelyayushhimisya-peremennymi.html

Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах. Примеры решений

Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах.
Примеры решений

Помимо дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными,однородных уравнений и линейных неоднородных уравнений первого порядка, в практических задачах время от времени встречаются так называемые уравнения в полных дифференциалах.

Да, конечно, ДУ в полных дифференциалах не такой частый гость в контрольных заданиях.

Но освоить этот вид уравнений крайне важно, так как приёмы решения, о которых пойдет речь на данном уроке, потребуются при вычислении двойных интегралов(тройных и вообще любых кратных интегралов), криволинейных интегралах, а также в ряде задач комплексного анализа.

Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах – вещь довольно простая, вы даже удивитесь, насколько прозрачен и доступен алгоритм решения. Что необходимо знать, для того чтобы разобраться в этих диффурах? Во-первых, нужно ориентироваться в базовых понятиях темы, ответьте прямо сейчас на несколько простейших вопросов:

– Что такое дифференциальное уравнение?– Что значит решить дифференциальное уравнение?– Что такое общее решение, общий интеграл, частное решение?

В том случае, если возникло малейшее недопонимание терминов, или вы недавно столкнулись с диффурами и являетесь чайником, пожалуйста, начните с урока Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Согласитесь, плохо, когда санитары на дурдоме спортсмены на соревнованиях в неважной физической форме.

Во-вторых, необходимо уверенно находить частные производные. Всё будет крутиться вокруг них. Счастливые студенты, которые избежали плотного знакомства с частными производными на первом курсе, будут вынуждены добавить их в свои друзья, поскольку без навыков нахождения частных производных читать дальше просто нет смысла.

Важно

С любимых незабываемых частных производных и начнём.Рассмотрим функцию двух переменных Такая вот простенькая функция.

Требуется найти частные производные первого порядка ,  и составить полный дифференциал .

В целях данного урока я поменяю букву «зет» на букву «эф»:

Дана функция двух переменных . Требуется найти частные производные первого порядка ,  и составить полный дифференциал .

Зачем потребовалась смена буквы? Традиционно сложилось, что в рассматриваемой теме в ходу буква . Кроме того, частные производные первого порядка будем чаще обозначать значками  . Как мы помним из вводного урока про дифференциальные уравнения первого порядка, в диффурах «не в почёте» обозначать производную штрихом.

Решаем нашу короткую задачку.Найдем частные производные первого порядка:
Полный дифференциал составим по формуле:

, или, то же самое:  

В данном случае: 

Пример 1

Решить дифференциальное уравнение 

Не ожидали? =)

Но самое забавное, что уже известен ответ: , точнее, надо еще добавить константу:

Общий интеграл  является решением дифференциального уравнения .

Таким образом, дифференциальное уравнение  является полным дифференциалом функции . Отсюда и название разновидности ДУ – уравнения в полных дифференциалах.

Как решить диффур в полных дифференциалах? Очевидно, что нужно выполнить некоторые обратные действия, чтобы восстановить исходную функцию (общий интеграл). Не так давно я что-то там дифференцировал. Какое действие является обратным? Правильно, интегрирование. То есть, речь пойдет о частном интегрировании, которое часто используется и в других задачах, упомянутых в начале урока.

^

Итак, требуется решить дифференциальное уравнение:

^ . Пожалуйста, забудьте задачку про частные производные и готовый ответ. Дело в том, что когда вам предложен для решения произвольный диффур, то вы ещё не знаете о том, что это уравнение в полных дифференциалах. И данный факт крайне желательно доказать в самом начале решения.

Докажем, что уравнение  является уравнением в полных дифференциалах. Как это сделать? Уравнение в полных дифференциалах имеет вид . Вспоминаем характерное и очень удобное равенство смешанных производных второго порядка: . Вот его и надо проверить:

, значит, данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

^ . Мы не имеем права использовать букву , так как изначально не знаем, является ли данное уравнение полным дифференциалом некоторой функции . А вдруг не является? Тогда вышеприведенные записи с буквой  будут некорректны с математической точки зрения. Поэтому обычно используют нейтральные буквы «пэ» и «ку», а сама проверка на чистовике выглядит примерно так:

Читайте также:  Решение задач по ядерным реакциям, примеры и определения

Проверим, является ли уравнение  уравнением в полным дифференциалах:

, значит, данное ДУ является уравнением в полных дифференциалах”

Вот только теперь, после доказательства, мы можем использовать букву «эф», поскольку показано, что дифференциальное уравнение  является полным дифференциалом некоторой функции  и имеет вид:

Ну, а коль скоро уравнение  имеет вид , то:

Таким образом, нам известны две частные производные, и наша задача состоит в том, чтобы восстановить общий интеграл .

Совет

Существуют два зеркальных способа решения. В статье я остановлюсь на более привычном способе решения, но в конце рассмотрю и второй зеркальный вариант, он не менее важен.

Действие второе. Работаем с верхней производной . Нижнюю производную  пока запишем на листочек и спрячем в карман.

Если дана частная производная , то нужная нам функция  восстанавливается с помощью обратного действия – частного интегрирования:

^ константой. Как видите, принцип точно такой же, как и при нахождении частных производных.

Я запишу подробно, сначала используем свойства линейности интеграла:
Еще раз подчеркиваю, что «игрек» в данном случае является константой и выносится за знак интеграла (т.е. не участвует в интегрировании).В итоге:

Здесь  – некоторая, пока ещё неизвестная функция, зависящая только от «игрек».

Правильно ли вычислен интеграл? В этом легко убедиться, если выполнить проверку, т.е. найти частную производную:

 – получена исходная подынтегральная функция.

Надеюсь всем, понятно, почему . Функция  зависит только от «игрек», а, значит, является константой.

Источник: http://www.userdocs.ru/matematika/30721/index.html

Как решить однородное дифференциальное уравнение

Чтобы решить  однородное  дифференциальное уравнение 1-го порядка, используют подстановку u=y/x, то есть u — новая неизвестная функция, зависящая от икса. Отсюда y=ux.

Производную y’ находим с помощью правила дифференцирования произведения:y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u (так как x’=1). Для другой формы записи: dy=udx+xdu.

После подстановки уравнение упрощаем и приходим к уравнению с разделяющимися переменными.

Примеры решения однородных дифференциальных уравнений 1-го порядка.

1) Решить уравнение 

Решение:

Обратите внимание

Проверяем, что это уравнение является однородным (см. Как определить однородное уравнение). Убедившись, делаем замену u=y/x, откуда y=ux, y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u. Подставляем: u’x+u=u(1+ln(ux)-lnx). Так как логарифм произведения равен сумме логарифмов, ln(ux)=lnu+lnx. Отсюда

u’x+u=u(1+lnu+lnx-lnx). После приведения подобных слагаемых: u’x+u=u(1+lnu). Теперь раскрываем скобки

u’x+u=u+u·lnu. В обеих частях стоит u, отсюда u’x=u·lnu. Поскольку u — функция от икса, u’=du/dx. Подставляем,

Получили уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные, для чего обе части умножаем на dx и делим на x·u·lnu, при условии, что произведение x·u·lnu≠0

Интегрируем:

В левой части — табличный интеграл. В правой — делаем замену t=lnu, откуда dt=(lnu)’du=du/u

ln│t│=ln│x│+C. Но мы уже обсуждали, что в таких уравнениях вместо С удобнее взять ln│C│. Тогда

ln│t│=ln│x│+ln│C│. По свойству логарифмов: ln│t│=ln│Сx│. Отсюда t=Cx. ( по условию, x>0). Пора делать обратную замену: lnu=Cx. И еще одна обратная замена:

По свойству логарифмов:

Это — общий интеграл уравнения.

Вспоминаем условие произведение x·u·lnu≠0 (а значит, x≠0,u≠0, lnu≠0, откуда u≠1). Но x≠0 из условия, остается u≠1, откуда x≠y. Очевидно, что  y=x ( x>0) входят в общее решение.

Ответ:

2) Найти частный интеграл уравнения y’=x/y+y/x, удовлетворяющий начальным условиям y(1)=2.

Решение:

Важно

Сначала проверяем, что это уравнение является однородным (хотя наличие слагаемых y/x и x/y уже косвенно указывает на это). Затем делаем замену u=y/x, откуда y=ux, y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u. Подставляем полученные выражения в уравнение:

u’x+u=1/u+u. Упрощаем:

u’x=1/u. Так как u — функция от икса, u’=du/dx:

Получили уравнение с разделяющимися переменными. Чтобы разделить переменные, умножаем обе части на dx и u и делим на x (x≠0 по условию, отсюда u≠0 тоже, значит, потери решений при этом не происходит).

Интегрируем:

и поскольку в обеих частях стоят табличные интегралы, сразу же получаем

Выполняем обратную замену:

Это — общий интеграл уравнения. Используем начальное условие y(1)=2, то есть подставляем в полученное решение y=2, x=1:

Ответ:

3) Найти общий интеграл однородного уравнения:

(x²-y²)dy-2xydx=0.

Решение:

Замена u=y/x, откуда y=ux, dy=xdu+udx. Подставляем:

(x²-(ux)²)(xdu+udx)-2ux²dx=0. Выносим x² за скобки и делим на него обе части (при условии x≠0):

x²(1-u²)(xdu+udx)-2ux²dx=0

(1-u²)(xdu+udx)-2udx=0. Раскрываем скобки и упрощаем:

xdu-u²xdu+udx-u³dx-2udx=0,

xdu-u²xdu-u³dx-udx=0. Группируем слагаемые с du и dx:

(x-u²x)du-(u³+u)dx=0. Выносим общие множители за скобки:

x(1-u²)du-u(u²+1)dx=0. Разделяем переменные:

x(1-u²)du=u(u²+1)dx. Для этого обе части уравнения делим на xu(u²+1)≠0 (соответственно, добавляем требования x≠0 (уже отметили), u≠0):

Интегрируем:

В правой части уравнения — табличный интеграл, рациональную дробь в левой части раскладываем на простые множители:

(или во втором интеграле можно было вместо подведения под знак дифференциала сделать замену t=1+u², dt=2udu — кому какой способ больше нравится). Получаем:

По свойствам логарифмов:

Обратная замена

Вспоминаем условие u≠0. Отсюда y≠0. При С=0 y=0, значит, потери решений не происходит, и y=0 входит в общий интеграл.

Ответ:

Замечание

Можно получить запись решения в другом виде, если слева оставить слагаемое с x:

Геометрический смысл интегральной кривой в этом случае — семейство окружностей с центрами на оси Oy и проходящих через начало координат.

Задания для самопроверки:

1) (x²+y²)dx-xydy=0

2)

Показать решение

1) Проверяем, что уравнение является однородным, после чего делаем замену u=y/x, откуда y=ux, dy=xdu+udx. Подставляем в условие: (x²+x²u²)dx-x²u(xdu+udx)=0. Разделив обе части уравнения на x²≠0, получаем: (1+u²)dx-u(xdu+udx)=0. Отсюда dx+u²dx-xudu-u²dx=0. Упростив, имеем: dx-xudu=0. Отсюда xudu=dx, udu=dx/x. Интегрируем обе части:

где С=(С1)².

Так как u=y/x, u²=y²/x², то есть y²=u²x²,

Ответ:

2) Проверив, что данное уравнение является однородным, делаем замену y=ux, отсюда y’=u’x+u. Подставляем в условие:

Делим обе части уравнения на x:

Упрощаем:

Интегрируем обе части:

Так как u=y/x, то

и, умножив на x обе части уравнения, получаем:

Ответ:

Источник: http://www.matematika.uznateshe.ru/kak-reshit-odnorodnoe-differencialnoe-uravnenie/

Ссылка на основную публикацию