Система уравнений максвелла: 1,2,3,4 уравнения максвелла для электромагнитного поля, смысл, суть, решение

Уравнения Максвелла

Уравнения Дж. Максвелла создают основу для предложенной им теории электромагнитных явлений, которая объяснила все известные в то время эмпирические факты, некоторые эффекты предсказала. Главным выводом теории Максвелла стало положение о существовании электромагнитных волн, которые распространяются со скоростью света.

Замечание

Уравнения, предложенные Максвеллом, в электромагнетизме играют роль подобную роли законов Ньютона в классической механике. Они явились обобщением экспериментальных законов и продолжением идей ученых (Кулона, Ампера, Фарадея и др.) изучавших электромагнетизм до Максвелла.

Замечание 1

Сам Максвелл предложил двадцать уравнений в дифференциальной форме с двадцатью неизвестными величинами. В современном виде мы имеем систему уравнений Максвелла благодаря немецкому физику Г. Герцу и англичанину О. Хэвисайду. С помощью этих уравнений можно описать все электромагнитные явления.

Система уравнений Максвелла

Определение 1

Систему уравнений Максвелла составляют:

[rotoverrightarrow{H}=overrightarrow{j}+frac{partial overrightarrow{D}}{partial t}left(1
ight),] [rotoverrightarrow{E}=-frac{partial overrightarrow{B}}{partial t}left(2
ight),] [divoverrightarrow{B}=0left(3
ight),] [divoverrightarrow{D}=
ho left(4
ight).]

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Выражения (1)-(4) называют полевыми уравнениями, они применимы для описания всех макроскопических электромагнитных явлений.

Иногда уравнения системы Максвелла группируют в пары, первую пару составляют из второго и третьего уравнения, вторую пару — из первого и четвертого уравнений.

При этом говорят, что в первую пару уравнений входят только основные характеристики поля ($overrightarrow{E} и overrightarrow{B}$), а во вторую пару – вспомогательные ($overrightarrow{D} и overrightarrow{H}$).

Обратите внимание

Каждое из векторных уравнений (1) и (2) эквивалентно трем скалярным уравнениям. Эти уравнения связывают компоненты векторов, которые находятся в левой и правой частях выражений. Так, в скалярном виде уравнение (1) представляется как:

В скалярном виде уравнение (2) запишем как:

Третье уравнение из системы Максвелла в скалярном виде:

Четвертое уравнение в скалярной форме примет следующий вид:

Для того чтобы рассмотреть конкретную ситуацию, систему уравнений (1)-(4) дополняют следующими материальными уравнениями, которые учитывают электромагнитные свойства среды:

Замечание 2

Необходимо отметить, что существует целый ряд явлений, в которых материальные уравнения существенно отличны от уравнений (5), например, если речь идет о нелинейных явлениях. В таких случаях получение материальных уравнений составляет отдельную научную задачу.

Физический смысл уравнений Максвелла

Уравнение (1) системы указывает на то, что двумя возможными источниками магнитного поля являются токи проводимости ($overrightarrow{j}$) и токи смещения ($frac{partial overrightarrow{D}}{partial t}$).

Уравнение (2) является законом электромагнитной индукции и отображает тот факт, что переменное магнитное поле — один из источников возникновения электрического поля.

Следующим источником электрического поля служат электрические заряды, что и отображает уравнение (4), которое является, по сути, законом Кулона.

Уравнение (3) означает, что линии магнитной индукции не имеют источников (они либо замкнуты, либо уходят в бесконечность), что приводит к выводу об отсутствии магнитных зарядов, которые создают магнитное поле.

Материальные уравнения (5) — это соотношения между векторами поля и токами. Диэлектрические свойства среды заключены в диэлектрической проницаемости ($varepsilon $). Магнитные свойства, которые описывает намагниченность, учтены в магнитной проницаемости ($mu $). Проводящие свойства среды сосредоточены в удельной проводимости ($sigma $).

Уравнения поля линейны и учитывают принцип суперпозиции.

Границы применимости уравнений Максвелла

Система уравнений Максвелла ограничена следующими условиями:

  1. Материальные тела должны быть неподвижны в поле.

  2. Постоянные $varepsilon , mu ,sigma $ могут зависеть от координат, но не должны зависеть от времени и векторов поля.

  3. В поле не должно находиться постоянных магнитов и ферромагнитных тел.

Если существует необходимость учета движения среды, то уравнения системы Максвелла оставляют неизменными, а движение учитывается в материальных уравнениях, которые становятся зависимыми от скорости среды и существенно усложняются.

Кроме прочего материальные уравнения перестают быть соотношениями между парами величин, как в (5). Например, плотность тока проводимости становится зависимой от индукции магнитного поля, а не только от напряженности электрического поля.

Замечание 3

Магнитное поле постоянных магнитов, например, можно описать, используя систему Максвелла, если известна намагниченность. Но, если заданы токи, то в присутствии ферромагнетиков описать поле при помощи данных уравнений не получится.

Пример 1

Задание: Докажите, что из уравнений Максвелла следует закон сохранения заряда.

Решение:

В качестве основания для решения задачи используем из системы Максвелла уравнение:

[rotoverrightarrow{H}=overrightarrow{j}+frac{partial overrightarrow{D}}{partial t}left(1.1
ight).]

Проведем операцию дивергирования в обеих частях выражения (1.1):

[divleft(rotoverrightarrow{H}
ight)=divleft(overrightarrow{j}+frac{partial overrightarrow{D}}{partial t}
ight)left(1.2
ight).]

Для выражения (1.2) в соответствии с теоремой равенстве нулю дивергенции ротора имеем:

[divleft(rotoverrightarrow{H}
ight)=0 left(1.3
ight).]

Следовательно, получаем:

[0=divleft(overrightarrow{j}
ight)+divleft(frac{partial overrightarrow{D}}{partial t}
ight)left(1.4
ight).]

Рассмотрим второе слагаемое в правой части. Мы можем поменять порядок дифференцирования, так как время и пространственные координаты независимы, то есть записать:

[divleft(frac{partial overrightarrow{D}}{partial t}
ight)=frac{partial div(overrightarrow{D)}}{partial t}left(1.5
ight).]

В соответствии с системой Максвелла мы знаем, что источниками электрических полей служат заряды или:

[divoverrightarrow{D}=
ho left(1.6
ight).]

Что позволяет нам записать уравнение (1.4) в виде:

[0=divleft(overrightarrow{j}
ight)+left(frac{partial
ho }{partial t}
ight)left(1.7
ight).]

Что дает нам закон сохранения заряда, который записан в виде:

[divleft(overrightarrow{j}
ight)=-frac{partial
ho }{partial t}(1.8).]

Данное уравнение называют уравнением непрерывности тока, оно содержит в себе закон сохранения заряда, что совершенно очевидно, если выражение (1.8), записать в интегральной форме:

[ointlimits_S{overrightarrow{j}}doverrightarrow{S}=-frac{partial }{partial t}int{
ho dV}(1.9).]

тогда если области замкнуты и изолированы получаем:

[ointlimits_S{overrightarrow{j}}doverrightarrow{S}=0 o int{
ho dV}=const.]

Что требовалось доказать.

Пример 2

Задание: Покажите, что уравнения $rotoverrightarrow{E}=-frac{partial overrightarrow{B}}{partial t}$ и $divoverrightarrow{B}=0$ , входящие в систему Максвелла не противоречат друг другу.

Решение:

За основу решения примем уравнение:

[rotoverrightarrow{E}=-frac{partial overrightarrow{B}}{partial t}left(2.1
ight).]

Возьмём дивергенцию от обеих частей уравнения:

[div(rotoverrightarrow{E)}=-div(frac{partial overrightarrow{B}}{partial t})left(2.2
ight).]

В соответствии с теоремой равенстве нулю дивергенции ротора имеем:

[div(rotoverrightarrow{E)}=0.]

Соответственно, получаем, что

[divleft(frac{partial overrightarrow{B}}{partial t}
ight)=frac{partial divoverrightarrow{B}}{partial t}=0 o divoverrightarrow{B}=const.]

Выражение $divoverrightarrow{B}=const$ не противоречит тому, что $divoverrightarrow{B}=0$.

Мы получили, что уравнения $rotoverrightarrow{E}=-frac{partial overrightarrow{B}}{partial t}$ и $divoverrightarrow{B}=0$ совместны, что требовалось показать.

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/uravneniya_maksvella/

Уравнения Максвелла для электромагнитного поля

Введение Максвеллом понятия тока сме­щения привело его к завершению создан­ной им единой макроскопической теории электромагнитного поля, позволившей с единой точки зрения не только объяснить электрические и магнитные явления, но и предсказать новые, существование кото­рых было впоследствии подтверждено.

В основе теории Максвелла лежат рас­смотренные выше четыре уравнения:

1. Электрическое поле (см.

§ 137) мо­жет быть как потенциальным (eq), так и вихревым (ЕB), поэтому напряженность суммарного поля Е=ЕQ+ЕB.

Так как циркуляция вектора eq равна нулю (см. (137.3)), а циркуляция вектора ЕB оп­ределяется выражением (137.2), то цир­куляция вектора напряженности суммар­ного поля

Это уравнение показывает, что источни­ками электрического поля могут быть не только электрические заряды, но и меняю­щиеся во времени магнитные поля.

2. Обобщенная теорема о циркуляции вектора Н (см. (138.4)):

Важно

Это уравнение показывает, что магнит­ные поля могут возбуждаться либо дви­жущимися зарядами (электрическими то­ками), либо переменными электрическими полями.

3. Теорема Гаусса для поля D:

Если заряд распределен внутри замкнутой поверхности непрерывно с объемной плот­ностью r, то формула (139.1) запишется в виде

4. Теорема Гаусса для поля В (см. (120.3)):

Итак, полная система уравнений Максвел­ла в интегральной форме:

Величины, входящие в уравнения Мак­свелла, не являются независимыми и меж­ду ними существует следующая связь (изотропные не сегнетоэлектрические и не ферромагнитные среды):

D=e0eE,

В=m0mН,

j=gE,

где e0 и m0 — соответственно электриче­ская и магнитная постоянные, e и m— соответственно диэлектрическая и магнит­ная проницаемости, g — удельная прово­димость вещества.

Из уравнений Максвелла вытекает, что источниками электрического поля мо­гут быть либо электрические заряды, либо изменяющиеся во времени магнитные по­ля, а магнитные поля могут возбуждаться либо движущимися электрическими заря­дами (электрическими токами), либо пере­менными электрическими полями. Уравне­ния Максвелла не симметричны относи­тельно электрического и магнитного полей. Это связано с тем, что в природе су­ществуют электрические заряды, но нет зарядов магнитных.

Для стационарных полей (Е=const и В=const) уравнения Максвелла при­мут вид

т. е. источниками электрического поля в данном случае являются только электри­ческие заряды, источниками магнитно­го — только токи проводимости. В данном случае электрические и магнитные поля независимы друг от друга, что и позволяет изучать отдельно постоянные электриче­ское и магнитное поля.

Воспользовавшись известными из векторного анализа теоремами Стокса и Гаусса

можно представить полную систему урав­нений Максвелла в дифференциальной форме(характеризующих поле в каждой точке пространства):

Если заряды и токи распределены в пространстве непрерывно, то обе формы уравнений Максвелла — интегральная

и дифференциальная — эквивалентны. Однако когда имеются поверхности разры­ва— поверхности, на которых свойства среды или полей меняются скачкообразно, то интегральная форма уравнений являет­ся более общей.

Уравнения Максвелла в дифференци­альной форме предполагают, что все вели­чины в пространстве и времени изменяют­ся непрерывно.

Чтобы достичь математи­ческой эквивалентности обеих форм урав­нений Максвелла, дифференциальную форму дополняют граничными условиями, которым должно удовлетворять электро­магнитное поле на границе раздела двух сред.

Интегральная форма уравнений Максвелла содержит эти условия. Они были рассмотрены раньше (см. § 90, 134):

D1n=D2n, E1t=E2t, B1n=B2n, H1t= H2t

(первое и последнее уравнения отвечают случаям, когда на границе раздела нет ни свободных зарядов, ни токов прово­димости).

Уравнения Максвелла — наиболее об­щие уравнения для электрических и маг­нитных полей в покоящихся средах. Они играют в учении об электромагнетизме такую же роль, как законы Ньютона в ме­ханике.

Совет

Из уравнений Максвелла следует, что переменное магнитное поле всегда свя­зано с порождаемым им электрическим полем, а переменное электрическое поле всегда связано с порождаемым им магнит­ным, т. е.

электрическое и магнитное поля неразрывно связаны друг с другом — они образуют единое электромагнитное поле.

Теория Максвелла, являясь обобщени­ем основных законов электрических и маг­нитных явлений, смогла объяснить не только уже известные экспериментальные факты, что также является важным ее следствием, но и предсказала новые явле­ния. Одним из важных выводов этой тео­рии явилось существование магнитного поля токов смещения (см.

§ 138), что по­зволило Максвеллу предсказать существо­вание электромагнитных волн— перемен­ного электромагнитного поля, распространяющегося в пространстве с конечной скоростью. В дальнейшем было доказано, что скорость распространения свободного электромагнитного поля (не связанного с зарядами и токами) в вакууме равна скорости света с = 3•108 м/с.

Читайте также:  Как правильно уговорить человека (преподавателя) сделать что-либо и поставить на свою сторону

Этот вывод и теоретическое исследование свойств электромагнитных волн привели Максвел­ла к созданию электромагнитной теории света, согласно которой свет представляет собой также электромагнитные волны. Электромагнитные волны на опыте были получены немецким физиком Г.

Герцем (1857—1894), доказавшим, что законы их возбуждения и распространения полно­стью описываются уравнениями Максвел­ла. Таким образом, теория Максвелла была экспериментально подтверждена.

К электромагнитному полю применим только принцип относительности Эйнштей­на, так как факт распространения электро­магнитных волн в вакууме во всех системах отсчета с одинаковой скоростью с не совместим с принципом относительности Галилея.

Согласно принципу относительности Эйнштейна,механические, оптические и электромагнитные явления во всех инер­циальных системах отсчета протекают одинаково, т. е. описываются одинаковыми уравнениями. Уравнения Максвелла инва­риантны относительно преобразований Ло­ренца: их вид не меняется при переходе

от одной инерциальной системы отсчета к другой, хотя величины Е, В, D, Н в них преобразуются по определенным прави­лам.

Обратите внимание

Из принципа относительности вытека­ет, что отдельное рассмотрение электри­ческого и магнитного полей имеет относи­тельный смысл.

Так, если электрическое поле создается системой неподвижных зарядов, то эти заряды, являясь непод­вижными относительно одной инерциаль­ной системы отсчета, движутся относи­тельно другой и, следовательно, будут порождать не только электрическое, но и магнитное поле.

Аналогично, неподвиж­ный относительно одной инерциальной системы отсчета проводник с постоянным током, возбуждая в каждой точке про­странства постоянное магнитное поле, дви­жется относительно других инерциальных систем, и создаваемое им переменное маг­нитное поле возбуждает вихревое электри­ческое поле.

Таким образом, теория Максвелла, ее экспериментальное подтверждение, а так­же принцип относительности Эйнштейна приводят к единой теории электрических, магнитных и оптических явлений, базиру­ющейся на представлении об электромаг­нитном поле.

Источник: https://megaobuchalka.ru/2/36332.html

Уравнений классической электродинамики (уравнения Максвелла)

Всякое решение уравнений поля должно описывать поле, ко­торое может существовать в Природе, Согласно принципу супер­позиции, сумма любых таких полей также должна представлять реально возможное поле.

Линейные дифференциальные уравне­ния обладают таким свойством, что сумма любых решений урав­нения также является его решением.

Следовательно, уравнения электромагнитного поля должны быть линейными дифферен­циальными уравнениями.

Система уравнений, описывающих электромагнитное поле, называется уравнениями Максвелла.

Они являются основными уравнениями классической электродинамики Уравнения Макс­велла связывают в любой точке пространства и в любой момент времени силовые характеристики, определяющие электромагнит­ное поле (,) с характеристиками источников поля – вектором плотности электрического токаи объемной плотностью элект­рического заряда ρ. Уравнения Максвелла в интегральной форме оперируют понятиями потока и циркуляции вектора (М 5.3).

Первое уравнение определяет, что электрическое поле порожда­ется электрическими зарядами; это уравнение устанавливает связь между объемной плотностью заря­да ρ и вектором.

Рис. 2.2.

Пусть в пространстве выделена некоторая область объемом V, ограниченная замкнутой поверх­ностью S, а в этом объеме произвольным образом распределен заряд q, так, что объемная плотность заряда ρ (рис. 2.2).

Это оз­начает, что.

Первое уравнение, носящее название теоремы Гаусса, определяет, что поток вектора напряженностиэлектрического поля, создаваемого в вакууме зарядом q, через поверхность S пропорционален заряду, находящемуся в объеме V:

. (2.5)

Здесь ε0- постоянный коэффициент, называемый электрической постоянной.

Важно

Силовые линии электрического поля, созданного зарядами, разомкнуты, они начинаются и оканчиваются на зарядах или уходят в бесконечность.

Второе уравнение определяет еще один источник электричес­кого поля – изменяющееся во времени магнитное поле. Это уравнение является обобщением закона электромагнитной индук­ции Фарадея.

Пусть в пространстве выделен некоторый замкнутый контур L, ограничивающий поверхность S. Пусть существует магнитное поле индукцией, поток которого через поверхность S равени изменяется во времени.

Второе уравнение определяет, что при этом возникает электрическое поле, циркуляция вектора напряженностикоторого по контуру L пропорциональна ско­рости изменения магнитного потока через поверхность S:

. (2.6)

Чем быстрее изменяется магнитное поле, тем сильнее возни­кающее при этом (индуцированное) электрическое поле. Индуци­рованное поле носит вихревой характер. Знак “минус” перед пра­вой частью уравнения (2.6) отвечает правилу Ленца.

Третье уравнение определяет факт отсутствия в Природе маг­нитных зарядов (подобных электрическим) как источников маг­нитного поля; поток вектора магнитной индукции через произ­вольную замкнутую поверхность S равен нулю:

. (2.7)

Магнитное поле всегда носит вихревой характер; магнитные силовые линии всегда замкнуты.

Четвертое уравнение определяет, что источником магнитного поля являются движущиеся электрические заряды (т. е. электри­ческий ток) и изменяющееся во времени электрическое поле:

. (2.8)

Циркуляция векторапо произвольному замкнутому контуру L, мысленно проведенному в электромагнитном поле, равна сумме двух слагаемых: первое из них пропорционально плотностиэлектрического тока, протекающего сквозь контур, второе — про­порционально скорости изменения потока электрического поля через поверхность S, ограниченную контуром L.

Из (2.6) и (2.8) следует, что электрическое и магнитное поля нельзя в общем случае рассматривать независимо. Они составля­ют неразрывную совокупность — электромагнитное поле. К этому вопросу мы вернемся при изучении теории относительности

(гл. 3).

Рассмотренные уравнения (2.5) – (2.8) называются интегральны­ми. Их можно записать с использованием дифференциальных характеристик (МП 5.2) в виде системы дифференциальных уравнений:

; (2.5')

; (2.6')

; (2.7')

. (2.8')

Совет

Переход к дифференциальной форме осуществляется с по­мощью теорем Гаусса и Стокса (МП 5.4). Покажем для примера связь между уравнениями (2.5) и (2.5'). На основании теоремы Гаусса левая часть уравнения (2.5) преобразуется к интегралу по объемуЗаменяя левую часть уравнения (2.5) этим интегралом, получим:

С использованием дифференциальных характеристик удобно сформулировать закон сохранения электрического заряда. Так как заряд электрически изолированной системы сохраняется, то уменьшение заряда в некотором объеме в единицу времени равно силе тока через поверхность, ограничивающую этот объем, т. е.

тогда

Применим к правой части интегральную теорему Гаусса:

где интегрирование ведется по одному и тому же объему, следо­вательно,

Полученное уравнение называется уравнением непрерывности.

Четыре рассмотренных уравнения поля в интегральной и диф­ференциальной формах представляют собой единую систему уравнений Максвелла для электромагнитного поля в вакууме. Она полностью определяет электромагнитное поле, если известны расположение и движение электрических зарядов.

Уравнение Максвелла вместе с выражением для силы Лоренца (2.3) пред­ставляют наиболее общие законы электромагнетизма.

Все осталь­ное содержание электродинамики составляют выводы и след­ствия, полученные с помощью математических преобразований уравнений Максвелла-Лоренца для конкретных систем полей, зарядов и токов.

Например, из уравнений (2.5') и (2.8') следует закон сохране­ния электрического заряда в форме (2.9). Продифференцировав обе части уравнения (2.5') по времени, получим:

Обе части уравнения (2.8') умножим наи возьмем дивергенцию от каждой части:

Дивергенция от ротора любого вектора по определению равна нулю. В правой части (2.10) поменяем местами операции диффе­ренцирования и дивергенции:

Заменяя второй член этого уравнения наокончательно получим

Прямо вытекает из второго уравнения Максвелла (2.6) закон электромагнитной индукции Фарадея.

Интеграл в правой части уравнения по определению есть магнитный поток, а циркуляция векторапо произвольному замкнутому контуру L (левая часть уравнения) называется электродвижущей силой (э.д.с.). Если заменить контур проводником, то получим, что э.д.с.

, наводимая при изменениях магнитного поля во времени, равна взятой со знаком “минус” скорости изменения магнитного потока через поверхность, натянутую на проводник:

Стационарные электрические и магнитные доля существуют, если расположение зарядов неизменно во времени и электричес­кие токи постоянны. В этом случае, и система уравнений Максвелла распадается на две пары независимых урав­нений:

Обратите внимание

Первая пара уравнений описывает электростатическое поле (поле неподвижных зарядов), а вторая – магнитостатическое (по­ле постоянных токов). Из уравнений следует, что электростати­ческое поле потенциальное, а магнитостатическое – вихревое.

Важной характеристикой электростатического поля является потенциал, характеризующий потенциальную энергию заряда, находящегося в поле. Пусть заряд помещен в некоторую точку электростатического поля. Тогда потенциалом φ называется отно­шение потенциальной энергии U этого заряда к величине заряда:

На заряд действует со стороны поля сила, стремящаяся уменьшить его потенциальную энергию:. С другой стороны,. Приравнивая правые части выражений для, получим:

Формула (2.14) описывает связь напряженности и потенциала для электростатического поля.

Сила, перемещая заряд q, совершает работу. При элемен­тарном перемещенииработа равна.

Работа сил поля на некотором участке траектории L опреде­ляется интегралом

Из свойств интеграла (МП 3.2) следует, что интеграл от гpaдиента потенциала на некотором участке траектории 1-2 равен разности значений потенциала на концах участка, т. е.

Здесь,радиус-векторы начала и конца участка траек­тории (рис. 2.3). Тогда работа А12 равна произведению заряда на разность потенциалов

Рис. 2.3.

Важно, что работа не зависит от вида траектории, а опреде­ляется только положением начала и конца последней. С выраже­нием (2.15) связана широко используемая в атомной физике и физике элементарных частиц внесистемная единица энергии – электровольт (эВ).

Важно

1 эВ — энергия, приобретаемая одним эле­ментарным зарядом (е) при прохождении им разности потен­циалов 1 В. Из (2.15) непосредственно следует, что работа сил потенциального поля при перемещении заряда по замкнутому контуру равна нулю, так как в этом случае.

Вернемся к выражению элементарной работы. Так как работа по замкнутому контуру равна нулю, то равна нулю и циркуляция векторапо этому контуру (МП 5.3)

Выражение (2.16) дает необходимое и достаточное условие потенциальности поля. В противоположность электростатичес­кому магнитостатическое поле является вихревым и характери­зуется не скалярным, а векторным потенциалом.

Рассмотрим вывод из уравнений Максвелла некоторых законов электромагнетизма, полученных эмпирически.

Поле точечного заряда. Закон Кулона. Этот закон определяет силу взаимодействия двух неподвиж­ных точечных зарядов в вакууме.

Окружим точечный заряд q1, нап­ример, положительный, сферой радиуса r (рис. 2.4).

Рис. 2.4.

Линии напряженности (силовые линии) поля, создаваемого этим зарядом, радиальны, поле обладает центральной симметрией. На поверхности сферы значение.

Воспользуемся ' первым уравнением Максвелла (2.5) —теоремой Гаусса

которое при выбранных условиях преобразуется к простому виду

откуда

Направление векторав каждой точке сферы совпадает с нап­равлением соответствующего радиуса вектора, тогда

Полученная формула определяет напряженность электричес­кого поля точечного заряда в точках, удаленных от него на расстояние r. Поместим в любую точку на поверхности сферы другой точечный заряд q2, например, отрицательный. По опре­делению напряженности, на него будет действовать сила притяжения — кулоновская сила.

Если в наших рассуждениях заряды поменять местами, получим, что на заряд q1 со стороны q2, действует сила. Следовательно, силовое взаимодействие зарядов подчиняется третьему закону Ньютона. Теорема Гаусса существенно облегчает расчет полей в случаях симметричных систем зарядов.

Читайте также:  Защита диплома в колледже (лицее, техникуме, училище): как проходит, образец оформления 2017

Магнитное ноле прямого тока. Из четвертого уравнения Максвелла (2.8) следует, что магнитное поле порождается, в част­ности, электрическим током.

Получим выражение для магнитной индукции поля в простом Случае так называемого прямого тока — тока в бесконечно длинном линейном проводнике.

Линии маг­нитной индукции в силу осевой симметрии задачи являются концен­трическими окружностями, располо­женными в плоскостях, перпендику­лярных проводнику. Одна из таких плоскостей изображена на рис. 2.5.

Рис. 2.5.

Совет

Направление силовых линий свя­зано с направлением тока правилом правою винта. Предположим, что переменное электрическое поле отсутствует, тоща уравнение (2.8) упростится:

Выберем одну из силовых линий радиуса r. Тогда в выражении (2.18)

и получим, чтооткуда

Эта формула определяет модуль вектора магнитной индукции магнитного поля, создаваемого током I в точках, отстоящих от проводника на расстояние r.

Дата добавления: 2017-11-21; просмотров: 1061;

Источник: https://poznayka.org/s102888t1.html

Максвелла уравнения

в произвольной среде. Максвелла уравнения сформулированы Дж. К. Максвеллом в 60-х годах 19 века на основе обобщения эмпирических законов электрических и магнитных явлений. Опираясь на эти законы и развивая плодотворную идею М.

Фарадея о том, что взаимодействия между электрически заряженными телами осуществляются посредством электромагнитного поля, Максвелл создал теорию электромагнитных процессов, математически выражаемую Максвелла уравнения Современная форма Максвелла уравнения дана немецким физиком Г. Герцем и английским физиком О. Хевисайдом.

Максвелла уравнения связывают величины, характеризующие электромагнитное поле, с его источниками, то есть с распределением в пространстве электрических зарядов и токов. В пустоте электромагнитное поле характеризуется двумя векторными величинами, зависящими от пространственных координат и времени: напряжённостью электрического поля Е и магнитной индукцией В. Эти величины определяют силы, действующие со стороны поля на заряды и токи, распределение которых в пространстве задаётся плотностью заряда r (зарядом в единице объёма) и плотностью тока j (зарядом, переносимым в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению движения зарядов). Для описания электромагнитных процессов в материальной среде (в веществе), кроме векторов Е и В, вводятся вспомогательные векторные величины, зависящие от состояния и свойств среды: электрическая индукция D и напряжённость магнитного поля Н.

  Максвелла уравнения позволяют определить основные характеристики поля (Е, В, D и Н) в каждой точке пространства в любой момент времени, если известны источники поля j и r как функции координат и времени. Максвелла уравнения могут быть записаны в интегральной или в дифференциальной форме (ниже они даны в абсолютной системе единиц Гаусса; см. СГС система единиц).

Максвелла уравнения в интегральной форме определяют по заданным зарядам и токам не сами векторы поля Е, В, D, Н в отдельных точках пространства, а некоторые интегральные величины, зависящие от распределения этих характеристик поля: циркуляцию векторов Е и Н вдоль произвольных замкнутых контуров и потоки векторов D и B через произвольные замкнутые поверхности.

  Первое Максвелла уравнения является обобщением на переменные поля эмпирического Ампера закона о возбуждении магнитного поля электрическими токами.

Максвелл высказал гипотезу, что магнитное поле порождается не только токами, текущими в проводниках, но и переменными электрическими полями в диэлектриках или вакууме. Величина, пропорциональная скорости изменения электрического поля во времени, была названа Максвеллом током смещения.

Ток смещения возбуждает магнитное поле по тому же закону, что и ток проводимости (позднее это было подтверждено экспериментально). Полный ток, равный сумме тока проводимости и тока смещения, всегда является замкнутым.

  Первое Максвелла уравнения имеет вид:

,   (1, a)

то есть циркуляция вектора напряжённости магнитного поля вдоль замкнутого контура L (сумма скалярных произведений вектора Н в данной точке контура на бесконечно малый отрезок dl контура) определяется полным током через произвольную поверхность S, ограниченную данным контуром.

Здесь jn — проекция плотности тока проводимости j на нормаль к бесконечно малой площадке ds, являющейся частью поверхности S, — проекция плотности тока смещения на ту же нормаль, а с = 3×1010 см/сек — постоянная, равная скорости распространения электромагнитных взаимодействий в вакууме.

  Второе Максвелла уравнения является математической формулировкой закона электромагнитной индукции Фарадея (см. Индукция электромагнитная) записывается в виде:

,   (1, б)

то есть циркуляция вектора напряжённости электрического поля вдоль замкнутого контура L (эдс индукции) определяется скоростью изменения потока вектора магнитной индукции через поверхность S, ограниченную данным контуром. Здесь Bn — проекция на нормаль к площадке ds вектора магнитной индукции В; знак минус соответствует Ленца правилу для направления индукционного тока.

Обратите внимание

  Третье Максвелла уравнения выражает опытные данные об отсутствии магнитных зарядов, аналогичных электрическим (магнитное поле порождается только токами):

,   (1, в)

то есть поток вектора магнитной индукции через произвольную замкнутую поверхность S равен нулю.

  Четвёртое Максвелла уравнения (обычно называемое Гаусса теоремой) представляет собой обобщение закона взаимодействия неподвижных электрических зарядов — Кулона закона:

,   (1, г)

то есть поток вектора электрической индукции через произвольную замкнутую поверхность S определяется электрическим зарядом, находящимся внутри этой поверхности (в объёме V, ограниченном данной поверхностью).

  Если считать, что векторы электромагнитного поля (Е, В, D, Н) являются непрерывными функциями координат, то, рассматривая циркуляцию векторов Н и Е по бесконечно малым контурам и потоки векторов B и D через поверхности, ограничивающие бесконечно малые объёмы, можно от интегральных соотношений (1, а — г) перейти к системе дифференциальных уравнений, справедливых в каждой точке пространства, то есть получить дифференциальную форму Максвелла уравнения (обычно более удобную для решения различных задач):

rot,

rot,     (2)

div,

div.

  Здесь rot и div — дифференциальные операторы ротор (см. Вихрь) и дивергенция, действующие на векторы Н, Е, B и D. Физический смысл уравнений (2) тот же, что и уравнений (1).

  Максвелла уравнения в форме (1) или (2) не образуют полной замкнутой системы, позволяющей рассчитывать электромагнитные процессы при наличии материальной среды.

Необходимо их дополнить соотношениями, связывающими векторы Е, Н, D, В и j, которые не являются независимыми.

Связь между этими векторами определяется свойствами среды и её состоянием, причём D и j выражаются через Е, а B — через Н:

D = D (E), B = B (Н), j = j (E).     (3)

Важно

Эти три уравнения называются уравнениями состояния, или материальными уравнениями; они описывают электромагнитные свойства среды и для каждой конкретной среды имеют определённую форму. В вакууме DºЕ и Bº Н. Совокупность уравнений поля (2) и уравнений состояния (3) образуют полную систему уравнений.

  Макроскопические Максвелла уравнения описывают среду феноменологически, не рассматривая сложного механизма взаимодействия электромагнитного поля с заряженными частицами среды.

Максвелла уравнения могут быть получены из Лоренца — Максвелла уравнений для микроскопических полей и определённых представлений о строении вещества путём усреднения микрополей по малым пространственно-временным интервалам.

Таким способом получаются как основные уравнения поля (2), так и конкретная форма уравнений состояния (3), причём вид уравнений поля не зависит от свойств среды.

  Уравнения состояния в общем случае очень сложны, так как векторы D, B и jв данной точке пространства в данный момент времени могут зависеть от полей Е и Н во всех точках среды во все предшествующие моменты времени.

В некоторых средах векторы D и B могут быть отличными от нуля при Е и H равных нулю (сегнетоэлектрики и ферромагнетики).

Однако для большинства изотропных сред, вплоть до весьма значительных полей, уравнения состояния имеют простую линейную форму:

D= eEB= mHj = sE+ jcтр.     (4)

  Здесь e (x, у, z) — диэлектрическая проницаемость, а m (x, у, z) — магнитная проницаемость среды, характеризующие соответственно её электрические и магнитные свойства (в выбранной системе единиц для вакуума e = m = 1); величина s(x, у, z) называется удельной электропроводностью; j cтр — плотность так называемых сторонних токов, то есть токов, поддерживаемых любыми силами, кроме сил электрического поля (например, магнитным полем, диффузией и т. д.). В феноменологической теории Максвелла макроскопические характеристики электромагнитных свойств среды e, m и s должны быть найдены экспериментально. В микроскопической теории Лоренца — Максвелла они могут быть рассчитаны.

  Проницаемости e и m фактически определяют тот вклад в электромагнитное поле, который вносят так называемые связанные заряды, входящие в состав электрически нейтральных атомов и молекул вещества.

Совет

Экспериментальное определение e, m, s позволяет рассчитывать электромагнитное поле в среде, не решая трудную вспомогательную задачу о распределении связанных зарядов и соответствующих им токов в веществе.

Плотность заряда r и плотность тока j в Максвелла уравнения — это плотности свободных зарядов и токов, причём вспомогательные векторы Н и D вводятся так, чтобы циркуляция вектора Н определялась только движением свободных зарядов, а поток вектора D — плотностью распределения этих зарядов в пространстве.

Если электромагнитное поле рассматривается в двух граничащих средах, то на поверхности их раздела векторы поля могут претерпевать разрывы (скачки); в этом случае уравнения (2) должны быть дополнены граничными условиями:

[nH]2 – [nH]1 =,

[nE]2 – [nE]1 = 0, (5)

(nD)2 – (nD)1 = 4ps,

(nB)2 – (nB)1 = 0.

  Здесь jпов и s — плотности поверхностных тока и заряда, квадратные и круглые скобки — соответственно векторное и скалярное произведения векторов, n — единичный вектор нормали к поверхности раздела в направлении от первой среды ко второй (1®2), а индексы относятся к разным сторонам границы раздела.

  Основные уравнения для поля (2) линейны, уравнения же состояния (3) могут быть и нелинейными. Обычно нелинейные эффекты обнаруживаются в достаточно сильных полях.

В линейных средах [удовлетворяющих соотношениям (4)] и, в частности, в вакууме Максвелла уравнения линейны и, таким образом, оказывается справедливым суперпозиции принцип: при наложении полей они не оказывают влияния друг на друга.

  Из Максвелла уравнения вытекает ряд законов сохранения. В частности, из уравнений (1, а) и (1, г) можно получить соотношение (так называемое уравнение непрерывности):

,    (6)

представляющее собой закон сохранения электрического заряда: полный ток, протекающий за единицу времени через любую замкнутую поверхность S, равен изменению заряда внутри объёма V, ограниченного этой поверхностью. Если ток через поверхность отсутствует, то заряд в объёме остаётся неизменным.

Читайте также:  Всех татьян и студентов — с праздником!!! поздравление от zaochnik

  Из Максвелла уравнения следует, что электромагнитное поле обладает энергией и импульсом (количеством движения). Плотность энергии w (энергии единицы объёма поля) равна:

,    (7)

  Электромагнитная энергия может перемещаться в пространстве. Плотность потока энергии определяется так называемым вектором Пойнтинга

.    (8)

Обратите внимание

  Направление вектора Пойнтинга перпендикулярно как Е, так и Н и совпадает с направлением распространения электромагнитной энергии, а его величина равна энергии, переносимой в единицу времени через единицу поверхности, перпендикулярной к вектору П.

Если не происходит превращений электромагнитной энергии в другие формы, то, согласно Максвелла уравнения, изменение энергии в некотором объёме за единицу времени равно потоку электромагнитной энергии через поверхность, ограничивающую этот объём.

Если внутри объёма за счёт электромагнитной энергии выделяется тепло, то закон сохранения энергии записывается в форме:

     (9)

  где Q — количество теплоты, выделяемой в единицу времени.

  Плотность импульса электромагнитного поля g(импульс единицы объёма поля) связана с плотностью потока энергии соотношением:

.    (10)

  Существование импульса электромагнитного поля впервые было обнаружено экспериментально в опытах П. Н. Лебедева по измерению давления света (1899).

  Как видно из (7), (8) и (10), электромагнитное поле всегда обладает энергией, а поток энергии и электромагнитный импульс отличны от нуля лишь в случае, когда одновременно существуют и электрическое и магнитное поля (причём эти поля не параллельны друг другу).

  Максвелла уравнения приводят к фундаментальному выводу о конечности скорости распространения электромагнитных взаимодействий (равной с = 3×1010 см/сек).

Это означает, что при изменении плотности заряда или тока в некоторой точке пространства порождаемое ими электромагнитное поле в точке наблюдения изменяется не в тот же момент времени, а спустя время t = R/c, где R — расстояние от элемента тока или заряда до точки наблюдения.

Вследствие конечной скорости распространения электромагнитных взаимодействий возможно существование электромагнитных волн, частным случаем которых (как впервые показал Максвелл) являются световые волны.

  Электромагнитные явления протекают одинаково во всех инерциальных системах отсчёта, то есть удовлетворяют принципу относительности. В соответствии с этим Максвелла уравнения не меняют своей формы при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой (релятивистски инвариантны).

Выполнение принципа относительности для электромагнитных процессов оказалось несовместимым с классическими представлениями о пространстве и времени, потребовало пересмотра этих представлений и привело к созданию специальной теории относительности (А. Эйнштейн, 1905; см. Относительности теория).

Форма Максвелла уравнения остаётся неизменной при переходе к новой инерциальной системе отсчёта, если пространств, координаты и время, векторы поля Е, Н, В, D, плотность тока j и плотность заряда r изменяются в соответствии с Лоренца преобразованиями (выражающими новые, релятивистские представления о пространстве и времени).

Важно

Релятивистски-инвариантная форма Максвелла уравнения подчёркивает тот факт, что электрическое и магнитное поля образуют единое целое.

  Максвелла уравнения описывают огромную область явлений.

Они лежат в основе электротехники и радиотехники и играют важнейшую роль в развитии таких актуальных направлений современной физики, как физика плазмы и проблема управляемых термоядерных реакций, магнитная гидродинамика, нелинейная оптика, конструирование ускорителей заряженных частиц, астрофизика и т. д.

Максвелла уравнения неприменимы лишь при больших частотах электромагнитных волн, когда становятся существенными квантовые эффекты, то есть когда энергия отдельных квантов электромагнитного поля — фотонов — велика и в процессах участвует сравнительно небольшое число фотонов.

 

  Лит.: Максвелл Дж. К., Избранные сочинения по теории электромагнитного поля, перевод с английского, М., 1952; Тамм И. Е., Основы теории электричества, 7 изд., М., 1957; Калашников С. Г., Электричество, М., 1956 (Общий курс физики, т.

2); Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М., Фейнмановские лекции по физике, (перевод с английского], в. 5, 6, 7, М., 1966; Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Теория поля, 5 изд., М., 1967 (Теоретическая физика, т. 2); их же, Электродинамика сплошных сред, М.

, 1959.

  Г. Я. Мякишев.

Статья про слово “Максвелла уравнения” в Большой Советской Энциклопедии была прочитана 36675 раз

Источник: http://bse.sci-lib.com/article072915.html

Уравнения максвелла

Сохрани ссылку в одной из сетей:

Лекция 14

УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА

Ограниченность теории дальнодействия. Гипотеза Максвелла. Вихревое электрическое поле. Ток смещения. Система уравнений Максвелла для электромагнитных полей в интегральной форме. Закон неразрывности заряда.

  1. Открытое Фарадеем явление электромагнитной индукции поставило вопрос о природе ЭДС в неподвижном контуре, находящемся в переменном магнитном поле.

    1. Максвелл предложил гипотезу, в соответствии с которой всякое переменное магнитное поле возбуждает в окружающем пространстве электрическое поле, которое и является причиной возникновения индукционного тока в контуре.

    2. Теория Максвелла:

      1. Последовательная теория единого электромагнитного поля произвольной системы электрических зарядов и токов.

      2. Решает основную задачу электродинамики – по заданному распределению зарядов и токов определяются характеристики их электрического и магнитного полей.

      3. Является обобщением важнейших законов для электрических и электромагнитных явлений – теоремы Остроградского-Гаусса, закона полного тока, закона электромагнитной индукции.

      4. Феноменологическая – в ней не рассматривается дискретное строение среды и механизм процессов, происходящих в среде в электромагнитном поле. Свойства среды – относительная диэлектрическая проницаемость, относительная магнитная проницаемость и удельная электрическая проводимость (известны из опыта).

      5. Макроскопическая – в ней изучаются макроскопические электромагнитные поля таких систем зарядов и токов, пространственные размеры которых много больше размеров атомов и молекул.

      6. Является теорией близкодействия – электрические и магнитные взаимодействия осуществляются посредством электромагнитного поля и распространяются со скоростью света

    3. Макроскопические поля в теории Максвелла представляют собой усредненные непрерывно изменяющиеся микрополя, создаваемые микроскопическими зарядами и токами. Усреднение производится по интервалам времени, значительно превышающим периоды внутриатомных процессов, и по объемам, значительно превышающим размеры атомов и молекул.

  2. Первое уравнение Максвелла является обобщением закона электромагнитной индукции, которое в интегральной форме имеет вид

    1. Из выражения для магнитного потока следует

Интеграл в правой части является функцией только от времени.

    1. Неравенство нулю циркуляции вектора напряженности электрического поля по замкнутому контуру означает, что возбуждаемое переменным магнитным полем электрическое поле является вихревым, как и само магнитное поле.

    2. Из первого уравнения Максвелла следует, что всякое переменное магнитное поле возбуждает в окружающем пространстве вихревое электрическое поле.

    3. По теореме Стокса в векторном анализе

где ротор вектора Е выражается определителем

что позволяет записать первое уравнение Максвелла в дифференциальном виде

  1. Второе уравнение Максвелла представляет собой обобщение закона полного тока.

    1. Второе уравнение Максвелла основано на предположении, что всякое изменение электрического поля вызывает возникновение в окружающем пространстве вихревого магнитного поля.

    2. Количественной мерой магнитного действия переменного электрического поля является ток смещения.

    3. Током смещения сквозь произвольную замкнутую поверхность S называется физическая величина, равная потоку вектора плотности тока смещения сквозь эту поверхность

с плотностью тока смещения

где D – вектор электрического смещения.

    1. Токи смещения проходят по тем участкам цепи переменного тока, где отсутствуют проводники (например, между обкладок конденсатора).

    2. В диэлектрике вектор электрического смещения равен

где Р – вектор поляризованности.

Тогда плотность тока смещения

где– плотность тока смещения в вакууме, а– плотность тока поляризации (смещение зарядов в молекулах неполярных диэлектриков или поворот диполей полярных диэлектриков).

    1. Токи смещения не сопровождаются выделением теплоты.

    2. Второе уравнение Максвелла в интегральной форме имеет вид

а полный ток

вследствие чего в дифференциальном виде второе уравнение Максвелла имеет вид

  1. Для областей поля, где нет макротоков

где знак минус в первом уравнении Максвелла означает, что вектора Н и dD/dt соответствуют правовинтовой системе, а вектора Е и dB/dt – левовинтовой.

  1. Третье и четвертое уравнения Максвелла представляют собой обобщения теоремы Остроградского-Гаусса для электрического и магнитного полей

    1. В интегральной форме эти уравнения имеют вид

где величина свободных зарядов, охватываемых замкнутой поверхностью S выражается через объемную плотность заряда

    1. По теореме Гаусса из векторного анализа

где дивергенция вектора определяется выражением

    1. В дифференциальной форме третье и четвертое уравнения Максвелла имеют вид

где– объемная плотность свободных зарядов в рассматриваемой точке поля.

  1. Полная система уравнений Максвелла включает четыре уравнения

1.2.

3.4.

    1. Из первых двух уравнений следует, что переменные электрическое и магнитное поля неразрывно связаны друг с другом, образуя единое электромагнитное поле. Разные знаки в правых частях первых двух уравнений обеспечивают устойчивость электромагнитного поля.

    2. Уравнения Максвелла в дифференциальной форме предполагают, что все величины в пространстве и времени изменяются непрерывно. Если же существуют поверхности разрыва (где свойства среды меняются скачком), то более общей является система интегральных уравнений.

    3. Для стационарных электрического и магнитного полей

и, следовательно, эти поля существуют независимо друг от друга и описываются соответственно уравнениями электростатики

и магнитостатики

    1. Систему уравнений Максвелла необходимо дополнить “материальными уравнениями“, которые характеризуют электрические и магнитные свойства среды

а также граничными условиями

где σ – поверхностная плотность свободных зарядов, а– вектор линейной плотности поверхностного тока проводимости.

  1. Документ

    Введение. Принято считать, что токи смещения входят в правую часть уравнений Максвелла [1] совершенно равноправно с токами переноса. Однако «до настоящего времени эти уравнения через токи смещения никто еще не решал, так как решения

  2. Решение

    В настоящее время в ЦНИИ проводятся разработки по изучению солитонных полей, солитонных каналов связи, а так же изучается воздействие на третий глаз человека излучений от соответствующих генераторов.

  3. Документ

    Специальная теория относительности (СТО) покоится на двух китах: оптике и механике, и прошла свое развитие от Галилея до Эйнштейна в механике и от Гюйгенса и Максвелла до Эйнштейна в теории света и электродинамике.

  4. Реферат

    Джеймс Клерк Максвелл родился 13 июня 1831г. в Эдинбурге, в семье юриста – обладателя поместья в Шотландии. В мальчике рано проявились любовь к технике и стремление постичь окружающий мир.

  5. Документ

    В статье предлагается альтернативный подход к решению проблемы единого поля электромагнетизма и гравитации в рамках классической теории Максвелла, вместо общей теории относи– тельности Эйнштейна.

Источник: https://refdb.ru/look/2292793.html

Ссылка на основную публикацию