Физические основы механики. часть 1: кинематика (скорость, ускорение, путь). формулы, примеры решения

Механика Основные формулы

v — скорость,
s — путь, пройденный телом,
t — промежуток времени, за который пройден путь s.

vср — средняя скорость на участке пути,
s — длина участка пути,
t — промежуток времени, за который пройден участок пути s.

vср — средняя скорость для всего пути,
v1, v2, v3, … — средние скорости движения на последовательных участках пути,
t1, t2, t3, … — промежутки времени, в течение которых тело двигалось на соответствующих участках пути.

a — ускорение,
v1 — скорость тела в момент времени t1,
v2 — скорость тела в момент времени t2,
t — промежуток времени от t1 до t2.

v — скорость,
v0 — скорость тела в начальный момент времени,
a — ускорение, если:

• 1) a > 0, равномерно-ускоренное движение;
• 2) a < 0, равномерно-замедленное движение;

t — промежуток времени, протекший от начального момента времени.

h — высота, с которой падает тело,
g — ускорение свободного падения,
t — время свободного падения тела до столкновения с землей,
v — скорость тела в момент столкновения с землей.

h — максимальная высота подъема,
g — ускорение свободного падения,
t — продолжительность полета тела,
v0 — начальная скорость тела,
s — расстояние по горизонтали, пройденное телом за все время движения,
 — угол к горизонту, под которым брошено тело.

a — центростремительное ускорение,
v — скорость,
R — радиус кривизны траектории.

 — равнодействующая всех сил, действующих на тело,
m — масса тела,
 — ускорение, получаемое телом под действием силы.

 — импульс тела,
m — масса тела,
 — скорость тела.

m — масса тела,
v — скорость,
v0 — скорость тела в начальный момент времени,
 — сила, действующая на тело,
t — промежуток времени, в течение которого на тело действует сила.

m, M — массы тел,
,  — скорости тел после взаимодействия (соударения),
,  — скорости тел до взаимодействия (соударения).

m1, m2 — массы тел,
r — расстояние между точечными телами,
γ — гравитационная постоянная.

Источник: http://fizikazadachi.ru/mehanika/

Физические основы механики

1.1. ЭЛЕМЕНТЫ КИНЕМАТИКИ

● Средняя и мгновенная скорости материальной точки

где Δr – элементарное перемещение точки за промежуток времени Δt; r – радиус-вектор точки; Δs – путь, пройденный точкой за промежуток времени Δt.

● Среднее и мгновенное ускорения материальной точки

● Полное ускорение при криволинейном движении

где– тангенциальная составляющая ускорения;– нормальная составляющая ускорения ( r – радиус  кривизны траектории в данной точке).

● Путь и скорость для равнопеременного движения

υ = υ0 ± at,

где υ0 – начальная скорость.

● Угловая скорость

● Угловое ускорение

● Угловая скорость для равномерного вращательного движения

где T – период вращения; n – частота вращения ( n = N / t , где N – число оборотов, совершаемых телом за время t ).

● Угол поворота и угловая скорость для равнопеременного вращательного движения

где ω0 – начальная угловая скорость.

● Связь между линейными и угловыми величинами

s = Rϕ; v = Rω; aτ = Rε; an = ω2R.

где R – расстояние от оси вращения.

1.2. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

● Импульс (количество движения) материальной точки

p = mv .

● Второй закон Ньютона (основное уравнение динамики материальной точки)

● Это же уравнение в проекциях на касательную и нормаль к траектории точки

● Сила трения скольжения

Fтр = fN ,

где f – коэффициент трения скольжения; N – сила нормального давления.

● Сила трения качения

Fтр = fкN / r ,

где f – коэффициент трения качения; r – радиус качающегося тела.

● Закон сохранения импульса для замкнутой системы

где n – число материальных точек (или тел), входящих в систему.

● Координаты центра масс системы материальных точек:

где mi – масса i-й материальной точки; xC , yC , zC – ее координаты.

● Уравнение движения тела переменной массы (уравнение Мещерского)

ma = F + Fp ,

где реактивная сила( u – скорость истечения газов из ракеты).

● Формула Циолковского для определения скорости ракеты

где m0 – начальная масса ракеты.

1.3. РАБОТА И ЭНЕРГИЯ

● Работа, совершаемая постоянной силой

dA = Fdr = Fsds = Fds cosα ,

● Работа, совершаемая переменной силой, на пути s

● Средняя мощность за промежуток времени Δt

〈N = ΔA / Δt .

● Мгновенная мощность

П = mgh,

где g – ускорение свободного падения.

● Сила упругости

F = −kx ,

где х – деформация; k – коэффициент упругости.

● Потенциальная энергия упругодеформированного тела

П = kx2 / 2 .

● Закон сохранения механической энергии (для консервативной системы)

T + П = Е = const .

● Коэффициент восстановления

ε = υ′n / υn ,

где υ′n и υn – соответственно нормальные составляющие относительной скорости тел после и до удара.

● Скорости двух тел массами m1 и m2 после абсолютно упругого центрального удара:

где υ1 и υ2 – скорости тел до удара.

● Скорость движения тел после абсолютно неупругого центрального удара

1.4. МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

● Момент инерции материальной точки

J = mr2 ,

где m – масса точки; r – расстояние до оси вращения.

● Момент инерции системы (тела)

где ri – расстояние материальной точки массой mi до оси вращения.

В случае непрерывного распределения масс J = ∫ r2dm .

● Теорема Штейнера

J = JС + ma2,

где JC – момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс; J – момент инерции относительно параллельной оси, отстоящей от первой на расстоянии а; m – масса тела.

● Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z ,

Tвр = Jz ω2 / 2 ,

где Jz – момент инерции тела относительно оси z ; ω – его угловая скорость.

● Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости без скольжения,

где m – масса тела; υC – скорость центра масс тела; JC – момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс; ω – угловая скорость тела.

● Момент силы относительно неподвижной точки

M = [rF] ,

где r – радиус-вектор, проведенный из этой точки в точку приложения силы F.

● Модуль момента силы

M = Fl ,

где l – плечо силы (кратчайшее расстояние между линией действия силы и осью вращения).

● Работа при вращении тела

dA = Mzdϕ ,

где dϕ – угол поворота тела; Mz – момент силы относительно оси z .

● Момент импульса (момент количества движения) твердого тела относительно оси вращения

где ri – расстояние от оси z до отдельной частицы тела; miυi – импульс этой частицы; Jz – момент инерции тела относительно оси z ; ω – его угловая скорость.

● Уравнение (закон) динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси

где ε – угловое ускорение; Jz – момент инерции тела относительно оси z .

● Закон сохранения момента импульса (момента количества движения) для замкнутой системы

L = const.

● Напряжение при упругой деформации

σ = F / S,

где F – растягивающая (сжимающая) сила; S – площадь поперечного сечения.

● Относительное продольное растяжение (сжатие)

ε = Δl / l,

где Δl – изменение длины тела при растяжении (сжатии); l – длина тела до деформации.

● Относительное поперечное растяжение (сжатие)

ε' = Δd / d,

где Δd – изменение диаметра стержня при растяжении (сжатии); d – диаметр стержня.

● Связь между относительным поперечным сжатием (растяжением) ε' и относительным продольным растяжением (сжатием) ε

ε' = με,

● Закон Гука для продольного растяжения (сжатия)

σ = Eε,

где Е – модуль Юнга.

● Потенциальная энергия упругорастянутого (сжатого) стержня

где V – объем тела.

1.5. ТЯГОТЕНИЕ. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ

● Третий закон Кеплера

где T1 и T2 – периоды обращения планет вокруг Солнца; R1 и R2 – большие полуоси их орбит.

● Закон всемирного тяготения

● Сила тяжести

P = mg ,

где m – масса тела; g – ускорение свободного падения.

● Напряженность поля тяготения

g = F/m ,

где F – сила тяготения, действующая на материальную точку массой m, помещенную в данную точку поля.

● Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия двух материальных точек массами m1 и m2 , находящихся на расстоянии r друг от друга,

П = −Gm1m2 / r .

● Потенциал поля тяготения

ϕ = П/m ,

где П – потенциальная энергия материальной точки массой m, помещенной в данную точку поля.

● Связь между потенциалом поля тяготения и его напряженностью

где i, j, k – единичные векторы координатных осей.

● Первая и вторая космические скорости

где R0 – радиус Земли.

● Основной закон динамики для неинерциальных систем отсчета

ma′ = ma + Fин ,

где a и a′ – соответственно ускорение тела в инерциальной и неинерциальной системах отсчета, Fин – силы инерции.

● Силы инерции

Fин = Fи + Fц + Fк ,

Fк = 2m[v′ω].

1.6. ЭЛЕМЕНТЫ МЕХАНИКИ ЖИДКОСТЕЙ

● Гидростатическое давление столба жидкости на глубине h

p = ρgh ,

где р – плотность жидкости.

● Закон Архимеда

FА = ρgV ,

где FА – выталкивающая сила; V – объем вытесненной жидкости.

● Уравнение неразрывности

Sυ = const ,

где S – площадь поперечного сечения трубки тока; υ – скорость жидкости.

● Уравнение Бернулли для стационарного течения идеальной несжимаемой жидкости

где р – статическое давление жидкости для определенного сечения трубки тока; υ – скорость жидкости для этого же сечения; ρυ2 / 2 – динамическое давление жидкости для этого же сечения; h – высота, на которой расположено сечение; ρgh – гидростатическое давление.

Для трубки тока, расположенной горизонтально,

● Формула Торричелли, позволяющая определить скорость истечения жидкости из малого отверстия в открытом широком сосуде,

где h – глубина, на которой находится отверстие относительно уровня жидкости в сосуде.

● Сила внутреннего трения между слоями текущей жидкости

где η – динамическая вязкость жидкости; Δυ/ Δx – градиент скорости; S – площадь соприкасающихся слоев.

● Число Рейнольдса, определяющее характер движения жидкости,

Re = ρ < υ > d /η ,

где ρ – плотность жидкости; < υ > – средняя по сечению трубы скорость жидкости; d – характерный линейный размер, например, диаметр трубы.

● Формула Стокса, позволяющая определить силу сопротивления, действующую на медленно движущийся в вязкой среде шарик,

F = 6πηrυ ,

где r – радиус шарика; υ – его скорость.

● Формула Пуазейля, позволяющая определить объем жидкости, протекающий за время t через капиллярную трубку длиной l,

V = πR4Δpt /(8ηl) ,

где R – радиус трубки; Δp – разность давлений на концах трубки.

● Лобовое сопротивление

где Cx – безразмерный коэффициент сопротивления; ρ – плотность среды; υ – скорость движения тела; S – площадь наибольшего поперечного сечения

тела.

● Подъемная сила

где Cy – безразмерный коэффициент подъемной силы.

1.7. ЭЛЕМЕНТЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ (ЧАСТНОЙ) ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

● Преобразования Лоренца

● Релятивистское замедление хода часов

где τ – промежуток времени между двумя событиями, отсчитанный движущимися вместе с телом часами; τ′ – промежуток времени между теми же событиями, отсчитанный покоящимися часами.

● Релятивистское (лоренцево) сокращение длины

где l0 – длина стержня, измеренная в системе отсчета, относительно которой стержень покоится (собственная длина); l – длина стержня, измеренная в системе отсчета, относительно которой он движется со скоростью υ .

● Релятивистский закон сложения скоростей

где предполагается, что система отсчета K′ движется со скоростью υ в положительном направления оси x системы отсчета K , причем оси x′ и x совпадают, оси y′ и y , z′ и z – параллельны.

● Интервал s12 между событиями (инвариантная величина)

где t12 – промежуток времени между событиями 1 и 2; l12 – расстояние между точками, где произошли события.

● Масса релятивистской частицы и релятивистский импульс

где m0 – масса покоя.

● Основной закон релятивистской динамики

где p – релятивистский импульс частицы.

● Полная и кинетическая энергии релятивистской частицы

E = mc2 = m0c2 +T , T = (m−m0) c2 .

● Связь между энергией и импульсом релятивистской частицы

● Энергия связи системы

где m0i – масса покоя i-й частицы в свободном состоянии; M0 – масса покоя системы, состоящей из n частиц.

Источник: http://StudyPort.ru/raznoe/formuly/fizika/6932-fizicheskie-osnovy-mekhaniki

Кинематика – Физика – Теория, тесты, формулы и задачи – Обучение Физике, Онлайн подготовка к ЦТ и ЕГЭ

Основные теоретические сведения

Система СИ

К оглавлению…

Основные единицы измерения величин в системе СИ таковы:

1. единица измерения длины – метр (1 м),
2. времени – секунда (1 с),
3. массы – килограмм (1 кг),
4. количества вещества – моль (1 моль),
5. температуры – кельвин (1 К),
6. силы электрического тока – ампер (1 А),
7. Справочно: силы света – кандела (1 кд, фактически не используется при решении школьных задач).

При выполнении расчетов в системе СИ углы измеряются в радианах.

Если в задаче по физике не указано, в каких единицах нужно дать ответ, его нужно дать в единицах системы СИ или в производных от них величинах, соответствующих той физической величине, о которой спрашивается в задаче. Например, если в задаче требуется найти скорость, и не сказано в чем ее нужно выразить, то ответ нужно дать в м/с.

Для удобства в задачах по физике часто приходится использовать дольные (уменьшающие) и кратные (увеличивающие) приставки. их можно применять к любой физической величине. Например, мм – миллиметр, кт – килотонна, нс – наносекунда, Мг – мегаграмм, ммоль – миллимоль, мкА – микроампер. Запомните, что в физике не существует двойных приставок.

Например, мкг – это микрограмм, а не милликилограмм. Учтите, что при сложении и вычитании величин Вы можете оперировать только величинами одинаковой размерности. Например, килограммы можно складывать только с килограммами, из миллиметров можно вычитать только миллиметры, и так далее. При переводе величин пользуйтесь следующей таблицей.

Таблица дольных и кратных приставок в физике:

Путь и перемещение

К оглавлению…

Кинематикой называют раздел механики, в котором движение тел рассматривается без выяснения причин этого движения.

Механическим движением тела называют изменение его положения в пространстве относительно других тел с течением времени.

Всякое тело имеет определенные размеры. Однако, во многих задачах механики нет необходимости указывать положения отдельных частей тела.

Если размеры тела малы по сравнению с расстояниями до других тел, то данное тело можно считать материальной точкой.

Так при движении автомобиля на большие расстояния можно пренебречь его длиной, так как длина автомобиля мала по сравнению с расстояниями, которое он проходит.

 Система отсчета (СО) – совокупность тела отсчета (оно считается абсолютно твердым), привязанной к нему системой координат, линейки (прибора, измеряющего расстояния), часов и синхронизатора времени.

Перемещаясь с течением времени из одной точки в другую, тело (материальная точка) описывает в данной СО некоторую линию, которую называют траекторией движения тела.

Перемещением тела называют направленный отрезок прямой, соединяющий начальное положение тела с его конечным положением. Перемещение есть векторная величина. Перемещением может в процессе движение увеличиваться, уменьшаться и становиться равным нулю.

Пройденный путь равен длине траектории, пройденной телом за некоторое время. Путь – скалярная величина. Путь не может уменьшаться. Путь только возрастает либо остается постоянным (если тело не движется). При движении тела по криволинейной траектории модуль (длина) вектора перемещения всегда меньше пройденного пути.

При равномерном (с постоянной скоростью) движении путь L может быть найден по формуле:

где: v – скорость тела, t – время в течении которого оно двигалось. При решении задач по кинематике перемещение обычно находится из геометрических соображений. Часто геометрические соображения для нахождения перемещения требуют знания теоремы Пифагора.

Средняя скорость

К оглавлению…

Скорость – векторная величина, характеризующая быстроту перемещения тела в пространстве. Скорость бывает средней и мгновенной. Мгновенная скорость описывает движение в данный конкретный момент времени в данной конкретной точке пространства, а средняя скорость характеризует все движение в целом, в общем, не описывая подробности движения на каждом конкретном участке.

Средняя скорость пути – это отношение всего пути ко всему времени движения:

где: Lполн – весь путь, который прошло тело, tполн – все время движения.

Средняя скорость перемещения – это отношение всего перемещения ко всему времени движения:

Эта величина направлена так же, как и полное перемещение тела (то есть из начальной точки движения в конечную точку). При этом не забывайте, что полное перемещение не всегда равно алгебраической сумме перемещений на определённых этапах движения. Вектор полного перемещения равен векторной сумме перемещений на отдельных этапах движения.

• При решении задач по кинематике не совершайте очень распространенную ошибку. Средняя скорость, как правило, не равна среднему арифметическому скоростей тела на каждом этапе движения. Среднее арифметическое получается только в некоторых частных случаях.
• И уж тем более средняя скорость не равна одной из скоростей, с которыми двигалось тело в процессе движения, даже если эта скорость имела примерно промежуточное значение относительно других скоростей, с которыми двигалось тело.

Равноускоренное прямолинейное движение

К оглавлению…

Ускорение – векторная физическая величина, определяющая быстроту изменения скорости тела. Ускорением тела называют отношение изменения скорости к промежутку времени, в течение которого происходило изменение скорости:

где: v0 – начальная скорость тела, v – конечная скорость тела (то есть спустя промежуток времени t).

Далее, если иное не указано в условии задачи, мы считаем, что если тело движется с ускорением, то это ускорение остается постоянным. Такое движение тела называется равноускоренным (или равнопеременным). При равноускоренном движении скорость тела изменяется на одинаковую величину за любые равные промежутки времени.

Равноускоренное движение бывает собственно ускоренным, когда тело увеличивает скорость движения, и замедленным, когда скорость уменьшается. Для простоты решения задач удобно для замедленного движения брать ускорение со знаком «–».

Перемещение (но не путь) при равноускоренном движении рассчитывается по формулам:

В последней формуле использована одна особенность равноускоренного движения. При равноускоренном движении среднюю скорость можно рассчитывать, как среднее арифметическое начальной и конечной скоростей (этим свойством очень удобно пользоваться при решении некоторых задач):

С расчетом пути все сложнее. Если тело не меняло направления движения, то при равноускоренном прямолинейном движении путь численно равен перемещению. А если меняло – надо отдельно считать путь до остановки (момента разворота) и путь после остановки (момента разворота). А просто подстановка времени в формулы для перемещения в этом случае приведет к типичной ошибке.

Координата при равноускоренном движении изменяется по закону:

Проекция скорости при равноускоренном движении изменяется по такому закону:

Аналогичные формулы получаются для остальных координатных осей. Формула для тормозного пути тела:

Свободное падение по вертикали

К оглавлению…

На все тела, находящиеся в поле тяготения Земли, действует сила тяжести. В отсутствие опоры или подвеса эта сила заставляет тела падать к поверхности Земли.

Если пренебречь сопротивлением воздуха, то движение тел только под действием силы тяжести называется свободным падением.

Сила тяжести сообщает любым телам, независимо от их формы, массы и размеров, одинаковое ускорение, называемое ускорением свободного падения. Вблизи поверхности Земли ускорение свободного падения составляет:

 Вначале рассмотрим простейший случай свободного падения, когда тело движется строго по вертикали.

Такое движение является равноускоренным прямолинейным движением, поэтому все изученные ранее закономерности и фокусы такого движения подходят и для свободного падения. Только ускорение всегда равно ускорению свободного падения.

Традиционно при свободном падении используют направленную вертикально ось OY. Ничего страшного здесь нет. Просто надо во всех формулах вместо индекса «х» писать «у». Смысл этого индекса и правило определения знаков сохраняется. Куда направлять ось OY – Ваш выбор, зависящий от удобства решения задачи. Вариантов 2: вверх или вниз.

Время падения тела с высоты h без начальной скорости:

Максимальная высота на которую поднимется тело, брошенное вертикально вверх с начальной скоростью v0, время подъема этого тела на максимальную высоту, и полное время полета (до возвращения в исходную точку):

Горизонтальный бросок

К оглавлению…

При горизонтальном броске с начальной скоростью v0 движение тела удобно рассматривать как два движения: равномерное вдоль оси ОХ (вдоль оси ОХ нет никаких сил препятствующих или помогающих движению) и равноускоренного движения вдоль оси OY.

Скорость в любой момент времени направлена по касательной к траектории. Ее можно разложить на две составляющие: горизонтальную и вертикальную. Горизонтальная составляющая всегда остается неизменной и равна vx = v0. А вертикальная возрастает по законам ускоренного движения vy = gt. При этом полная скорость тела может быть найдена по формулам:

При этом важно понять, что время падения тела на землю никоим образом не зависит от того, с какой горизонтальной скоростью его бросили, а определяется только высотой, с которой было брошено тело. Время падения тела на землю находится по формуле:

Пока тело падает, оно одновременно движется вдоль горизонтальной оси. Следовательно, дальность полета тела или расстояние, которое тело сможет пролететь вдоль оси ОХ, будет равно:

Угол между горизонтом и скоростью тела легко найти из соотношения:

Также иногда в задачах могут спросить о моменте времени, при котором полная скорость тела будет наклонена под определенным углом к вертикали. Тогда этот угол будет находиться из соотношения:

Важно понять, какой именно угол фигурирует в задаче (с вертикалью или с горизонталью). Это и поможет вам выбрать правильную формулу. Если же решать эту задачу координатным методом, то общая формула для закона изменения координаты при равноускоренном движении:

При ее помощи мы можем найти высоту на которой будет находится тело в любой момент времени. При этом в момент падения тела на землю координата тела по оси OY будет равна нулю. Очевидно, что вдоль оси OХ тело движется равномерно, поэтому в рамках координатного метода горизонтальная координата изменятся по закону:

Бросок под углом к горизонту (с земли на землю)

К оглавлению…

Максимальная высота подъема при броске под углом к горизонту (относительно начального уровня):

Время подъема до максимальной высоты при броске под углом к горизонту:

Дальность полета и полное время полета тела брошенного под углом к горизонту (при условии, что полет заканчивается на той же высоте с которой начался, т.е. тело бросали, например, с земли на землю):

Минимальная скорость тела брошенного под углом к горизонту – в наивысшей точке подъёма, и равна:

Максимальная скорость тела брошенного под углом к горизонту – в моменты броска и падения на землю, и равна начальной. Это утверждение верно только для броска с земли на землю. Если тело продолжает лететь ниже того уровня, с которого его бросали, то оно будет там приобретать все большую и большую скорость.

Сложение скоростей

К оглавлению…

Движение тел можно описывать в различных системах отсчета. С точки зрения кинематики все системы отсчета равноправны.

Однако кинематические характеристики движения, такие как траектория, перемещение, скорость, в разных системах оказываются различными.

Таким образом, абсолютная скорость тела равна векторной сумме его скорости относительно подвижной системы координат и скорости самой подвижной системы отсчета. Или, другими словами, скорость тела в неподвижной системе отсчета равна векторной сумме скорости тела в подвижной системе отсчета и скорости подвижной системы отсчета относительно неподвижной.

Равномерное движение по окружности

К оглавлению…

Движение тела по окружности является частным случаем криволинейного движения. Такой вид движения также рассматривается в кинематике. При криволинейном движении вектор скорости тела всегда направлен по касательной к траектории. То же самое происходит и при движении по окружности (см. рисунок). Равномерное движение тела по окружности характеризуется рядом величин.

Период – время, за которое тело, двигаясь по окружности, совершает один полный оборот. Единица измерения – 1 с. Период рассчитывается по формуле:

Частота – количество оборотов, которое совершило тело, двигаясь по окружности, в единицу времени. Единица измерения – 1 об/с или 1 Гц. Частота рассчитывается по формуле:

В обеих формулах: N – количество оборотов за время t. Как видно из вышеприведенных формул, период и частота величины взаимообратные:

При равномерном вращении скорость тела будет определяется следующим образом:

Угловой скоростью ω тела в данной точке называют отношение малого углового перемещения Δφ к малому промежутку времени Δt.

 Очевидно, что за время равное периоду T тело пройдет угол равный 2π, следовательно при равномерном движении по окружности выполняются формулы:

Угловая скорость измеряется в рад/с. Не забывайте переводить углы из градусов в радианы. Длина дуги l связана с углом поворота соотношением:

Связь между модулем линейной скорости v и угловой скоростью ω:

При движении тела по окружности с постоянной по модулю скоростью изменяется только направление вектора скорости, поэтому движение тела по окружности с постоянной по модулю скоростью является движением с ускорением (но не равноускоренным), так как меняется направление скорости. В этом случае ускорение направлено по радиусу к центру окружности. Его называют нормальным, или центростремительным ускорением, так как вектор ускорения в любой точке окружности направлен к ее центру (см. рисунок).

Модуль центростремительного ускорения связан с линейной v и угловой ω скоростями соотношениями:

Источник: https://educon.by/index.php/materials/phys/kinematika

Основные понятия кинематики

Кинематикой называют раздел механики, в котором движение тел рассматривается без выяснения причин, его вызывающих.

Механическим движением тела называют изменение его положения в пространстве относительно других тел с течением времени.

Механическое движение относительно (см 1.2) Движение одного и того же тела относительно разных тел оказывается различным. Для описания движения тела нужно указать, по отношению к какому телу рассматривается движение. Это тело называют телом отсчета.

Система координат, связанная с телом отсчета, и часы для отсчета времени образуют систему отсчета, позволяющую определять положение движущегося тела в любой момент времени.

В Международной системе единиц (СИ) за единицу длины принят метр, а за единицу времени – секунда.

В системе СГС (Сантиметр, грамм, секунда) приняты соответственно сантиметр и секунда.

Всякое тело имеет определенные размеры. Различные части тела находятся в разных местах пространства. Однако, во многих задачах механики нет необходимости указывать положения отдельных частей тела.

Если размеры тела малы по сравнению с расстояниями до других тел, то данное тело можно считать его материальной точкой. Так можно поступать, например, при изучении движения планет вокруг Солнца.

Если все части тела движутся одинаково, то такое движение называется поступательным. Поступательно движутся, например, кабины в аттракционе «Колесо обозрения», автомобиль на прямолинейном участке пути и т. д. При поступательном движении тела его также можно рассматривать как материальную точку.

Тело, размерами которого в данных условиях можно пренебречь, называется материальной точкой.

Понятие материальной точки играет важную роль в механике.

Положение материальной точки в пространстве в любой момент времени (закон движения) можно определять либо с помощью зависимости координат от времени x = x (t), y = y (t), z = z (t) (координатный способ), либо при помощи зависимости от времени

радиус-вектора    (векторный способ), проведенного из

начала координат до данной точки (рис. 1.1.1).

Рисунок 1.1.1.

Определение положения точки с помощью координат x = x (t), y = y (t) и z = z (t)

 и радиус-вектора

 – радиус-вектор положения точки в начальный момент времени

Перемещением тела

называют направленный отрезок прямой, соединяющий начальное положение тела с его последующим положением. Перемещение есть векторная величина.

Пройденный путь l равен длине дуги траектории, пройденной телом за некоторое время t. Путь – скалярная величина.

Если движение тела рассматривать в течение достаточно короткого промежутка времени, то вектор перемещения окажется направленным по касательной к траектории в данной точке, а его длина будет равна пройденному пути.

В случае достаточно малого промежутка времени Δt пройденный телом путь Δl почти совпадает с модулем вектора перемещения При движении тела по криволинейной траектории модуль вектора перемещения всегда меньше пройденного пути (рис. 1.1.2).

Рисунок 1.1.2.Пройденный путь l и вектор перемещения  при криволинейном движении тела. a и b – начальная и конечная точки пути

Для характеристики движения вводится понятие средней скорости:

В физике наибольший интерес представляет не средняя, а мгновенная скорость, которая определяется как предел, к которому стремится средняя скорость на бесконечно малом промежутке времени Δt,

В математике такой предел называют производной и обозначают

Мгновенная скоростьтела в любой точке криволинейной траектории направлена по касательной к траектории в этой точке. Различие между средней и мгновенной скоростями показано на рис. 1.1.3.

Рисунок 1.1.3.Средняя и мгновенная скорости. – перемещения за времена соответственно.При t→0

При движении тела по криволинейной траектории его скорость изменяется по модулю и направлению. Изменение вектора скорости  за некоторый малый промежуток времени Δt можно задать с помощью вектора (рис. 1.1.4).

Вектор изменения скорости за малое время Δt можно разложить на две составляющие: направленную вдоль вектора (касательная составляющая), и направленную перпендикулярно вектору (нормальная составляющая).

Рисунок 1.1.4.Изменение вектора скорости по величине и направлению. – изменение вектора скорости за время Δt

Мгновенным ускорением (или просто ускорением)  теланазывают предел отношения малого изменения скорости к малому промежутку времени Δt, в течение которого происходило изменение скорости:

Направление вектора ускорения в случае криволинейного движения не совпадает с направле нием вектора скорости  Составляющие вектора ускорения  называют касательным (тангенциальным)  и нормальным  ускорениями (рис. 1.1.5).

Рисунок 1.1.5.Касательное и нормальное ускорения

Касательное ускорение указывает, насколько быстро изменяется скорость тела по модулю:

Вектор  направлен по касательной к траектории.

Нормальное ускорение указывает, насколько быстро скорость тела изменяется по направлению.

Криволинейное движение можно представить как движение по дугам окружностей (рис. 1.1.6).

Рисунок 1.1.6.Движение по дугам окружностей

Нормальное ускорение зависит от модуля скорости υ и от радиуса R окружности, по дуге которой тело движется в данный момент: 

(Эта формула сделана в Mathtype)

Вектор     всегда направлен к центру окружности.

Из рис. 1.1.5 видно, что модуль полного ускорения равен

Таким образом, основными физическими величинами в кинематике материальной точки являются пройденный путь l, перемещение, скорость  и ускорение. Путь l является скалярной величиной.

Перемещение  , скорость  и ускорение – величины векторные. Чтобы задать векторную величину, нужно задать ее модуль и указать направление. Векторные величины подчиняются определенным математическим правилам.

Источник: http://www.its-physics.org/osnovnye-ponyatiya-kinematiki

Техническая механика



В предыдущей статье движение тела или точки определено, как изменение положения в пространстве с течением времени. Для того чтобы более полно охарактеризовать качественные и количественные стороны движения введены понятия скорости и ускорения.

Скорость – это кинематическая мера движения точки, характеризующая быстроту изменения ее положения в пространстве.
Скорость является векторной величиной, т. е. она характеризуется не только модулем (скалярной составляющей), но и направлением в пространстве.

Как известно из физики, при равномерном движении скорость может быть определена длиной пути, пройденного за единицу времени: v = s/t = const (предполагается, что начало отсчета пути и времени совпадают).
При прямолинейном движении скорость постоянна и по модулю, и по направлению, а ее вектор совпадает с траекторией.

Единица скорости в системе СИ определяется соотношением длина/время, т. е. м/с.

Для того, чтобы установить направление вектора скорости в каждый момент времени при криволинейном движении, разобьем траекторию на бесконечно малые участки пути, которые можно считать (вследствие их малости) прямолинейными.

Тогда на каждом участке условная скорость vп такого прямолинейного движения будет направлена по хорде, а хорда, в свою очередь, при бесконечном уменьшении длины дуги (Δs стремится к нулю), будет совпадать с касательной к этой дуге.

Из этого следует, что при криволинейном движении вектор скорости в каждый момент времени совпадает с касательной к траектории (рис. 1а). Прямолинейное движение можно представить, как частный случай криволинейного движения по дуге, радиус которой стремится к бесконечности (траектория совпадает с касательной).

При неравномерном движении точки модуль ее скорости с течением времени меняется.
Представим себе точку, движение которой задано естественным способом уравнением s = f(t).

Если за небольшой промежуток времени Δt точка прошла путь Δs, то ее средняя скорость равна:

vср = Δs/Δt.

Истинная (мгновенная) скорость есть предел, к которому стремится средняя скорость при Δt, стремящемся к нулю:

v = lim vср при t→0 или v = lim (Δs/Δt) = ds/dt.

Таким образом, числовое значение истинной скорости равно v = ds/dt.
Истинная (мгновенная) скорость при любом движении точки равна первой производной координаты (т. е. расстояния от начала отсчета перемещения) по времени.

При Δt стремящемся к нулю, Δs тоже стремится к нулю, и, как мы уже выяснили, вектор скорости будет направлен по касательной (т. е. совпадает с вектором истинной скорости v). Из этого следует, что предел вектора условной скорости vп, равный пределу отношения вектора перемещения точки к бесконечно малому промежутку времени, равен вектору истинной скорости точки.

***

Ускорение точки в прямолинейном движении

В общем случае движение точки с изменяющейся во времени скоростью называют ускоренным, при этом считая ускорение, вызывающее уменьшение скорости, отрицательным. Иногда движение, в котором скорость с течением времени уменьшается, называют замедленным.

Ускорение есть кинематическая мера изменения скорости точки во времени. Другими словами – ускорение – это скорость изменения скорости.
Как и скорость, ускорение является величиной векторной, т. е. характеризуется не только модулем, но и направлением в пространстве.

При прямолинейном движении вектор скорости всегда совпадает с траекторией и поэтому вектор изменения скорости тоже совпадает с траекторией.

Из курса физики известно, что ускорение представляет собой изменение скорости в единицу времени. Если за небольшой промежуток времени Δt скорость точки изменилась на Δv, то среднее ускорение за данный промежуток времени составило: аср = Δv/Δt.

Среднее ускорение не дает представление об истинной величине изменения скорости в каждый момент времени.

При этом очевидно, что чем меньше рассматриваемый промежуток времени, во время которого произошло изменение скорости, тем ближе значение ускорения будет к истинному (мгновенному).

Отсюда определение: истинное (мгновенное) ускорение есть предел, к которому стремится среднее ускорение при Δt, стремящемся к нулю:

а = lim аср при t→0     или     lim Δv/Δt = dv/dt.

Учитывая, что v = ds/dt, получим: а = dv/dt = d2s/dt2.

Истинное ускорение в прямолинейном движении равно первой производной скорости или второй производной координаты (расстояния от начала отсчета перемещения) по времени.

Единица ускорения – метр, деленный на секунду в квадрате (м/с2).

***

Ускорение точки в криволинейном движении

При движении точки по криволинейной траектории скорость меняет свое направление, т. е вектор скорости является переменной величиной.

Представим себе точку М, которая за время Δt, двигаясь по криволинейной траектории, переместилась в положение М1 (рис. 1).

Вектор приращения (изменения) скорости обозначим Δv, тогда: Δv = v1 – v.

Для нахождения вектора Δv перенесем вектор v1 в точку М и построим треугольник скоростей. Определим вектор среднего ускорения:

аср = Δv/Δt.

а = lim Δv/Δt при t→0.

Такой предел называют векторной производной.
Таким образом, истинное ускорение точки в криволинейном движении равно векторной производной скорости по времени.

Из рисунка 1 видно, что вектор ускорения в криволинейном движении всегда направлен в сторону вогнутости траектории.

Так как векторную производную непосредственно вычислять мы не умеем, то ускорение в криволинейном движении будем определять косвенными методами. Так, например, если движение точки задано естественным способом, то применяется теорема о проекции ускорения на касательную и нормаль. Чтобы понять суть этой теоремы, следует рассмотреть понятие кривизны кривых линий.

***



Рассмотрим криволинейную траекторию точки М (рис. 2а).
Угол Δφ между касательными к кривой в двух соседних точках называется углом смежности.

Кривизной кривой в данной точке называется предел отношения угла смежности Δφ к соответствующей длине Δs дуги, когда последняя стремится к нулю.
Обозначим кривизну буквой k, тогда:

k = lim Δφ/Δs   при   Δs → 0.

Рассмотрим окружность радиуса R (см. рисунок 2б).
Так как Δs = RΔφ, то:

k = lim Δφ/Δs = lim Δφ/RΔs = 1/R (при Δs → 0).

Следовательно, кривизна окружности во всех точках одинакова и равна k = 1/R.

Для каждой точки данной кривой можно подобрать такую окружность, кривизна которой равна кривизне кривой в данной точке. Радиус ρ такой окружности называется радиусом кривизны кривой в данной точке, а центр этой окружности – центром кривизны.

Итак, кривизна кривой в данной точке есть величина, обратная радиусу кривизны в данной точке:

k= 1/ρ.

***

Теорема о проекции ускорения на касательную и нормаль

Проекция ускорения на касательную к траектории называется касательным (тангенциальным) ускорением, а проекция ускорения на нормаль к этой касательной – нормальным ускорением.

Теорема: нормальное ускорение равно квадрату скорости, деленному на радиус кривизны траектории в данной точке; касательное ускорение – первой производной от скорости по времени.

Доказательство этой теоремы основывается на геометрических построениях с учетом приведенных ранее зависимостей перемещения, скорости и ускорения от времени. В данной статье доказательство теоремы не приводится; при необходимости, его можно рассмотреть в других источниках информации.

Итак, на основании теоремы об ускорениях, можно записать:

ап = v2/ρ;     aτ = dv/dt.

Анализируя формулы касательного и нормального ускорения можно сделать вывод, что касательное ускорение характеризует изменение скорости только по модулю, а нормальное – только по направлению.

а = √(аτ2 + ап2).

Направление ускорения: cos (aτ,a) = аτ/а.

Часто касательное и нормальное ускорения рассматривают не как проекции, а как составляющие полного ускорения, т. е. как векторные величины.

Вектор нормального ускорения всегда направлен к центру кривизны, поэтому нормальное ускорение иногда называют центростремительным.

***

Виды движения точки в зависимости от ускорения

Анализируя формулы касательного и нормального ускорений, можно выделить следующие виды движения точки:

ап = v2/ρ ≠ 0;    aτ = dv/dt ≠ 0,   – неравномерное криволинейное (рис. 3а);

ап = v2/ρ ≠ 0;    aτ = dv/dt = 0,   – равномерное криволинейное (рис. 3б);

ап = v2/ρ = 0;    aτ = dv/dt ≠ 0,   – неравномерное прямолинейное (рис. 3в);

aτ = dv/dt = const ≠ 0;    ап = v2/ρ ≠ 0,   – равнопеременное криволинейное (рис. 3г);

aτ = dv/dt = const ≠ 0,    ап = v2/ρ = 0,   – равнопеременное прямолинейное (рис. 3д);

***

Теоремы о проекциях скорости и ускорения на координатную ось

Если движение точки задано координатным способом, то путь (перемещение), скорость и ускорение за промежуток времени Δt можно найти, используя проекции этих величин на координатную ось.

Очевидно, что приращение любой из координат при Δt стремящемся к нулю тоже стремится к нулю, и предел такого приращения может быть определен из дифференциальных отношений, устанавливаемых теоремами о проекциях скорости и ускорения:

Теорема: проекция скорости на координатную ось равна первой производной от соответствующей координаты по времени:

vпx = dx/Δt       vпy = dy/Δt       vпz = dz/Δt.

Теорема: проекция ускорения на координатную ось равна второй производной от соответствующей координаты по времени:

ax = d2x/Δt2       ay = d2y/Δt2       az = d2z/Δt2.

Зная проекции скорости или ускорения на координатные оси, можно определить модуль и направление вектора любой из этих величин, используя теорему Пифагора и тригонометрические соотношения.

***

Простейшие движения твердого тела



Главная страница

Специальности

Учебные дисциплины

Олимпиады и тесты

Источник: http://k-a-t.ru/tex_mex/12-kinematika_skor_uskor/index.shtml

1. Кинематика точечной массы. Перемещение. Скорость. Ускорение. Формулы для координаты и скорости при равноускоренном движении

Механика – раздел физики, изучающий закономерности механического движения и причины, вызывающие или изменяющие это движение.

Классической механикой называется механика Галилея-Ньютона, в которой изучаются законы движения макроскопических тел, скорости к-ых малы по сравнению со скоростью света (с) в вакууме. (Механика Галилея-Ньютона рассматривает пространство и время как объективные формы существования материи, но в отрыве друг от друга и от движения материальных тел.)

Механика делится на три раздела:

1. Кинематика – раздел механики, изучающий движение тел без учета их масс и действующих на них сил.
2. Динамика – раздел механики, изучающий движение механических систем под действием сил.
3. Статика – раздел механики, изучающий законы равновесия системы тел.

Материальная точка – тело, обладающее массой, размерами к-ого в данной задаче можно пренебречь.

Абсолютно твердым телом называется тело, которое ни при каких условиях не может деформироваться и при всех условиях расстояние между двумя точками (или точнее межу двумя частицами) этого тела остается постоянным.

Способы описания движения:

1. Табличный (таблица координат тела).
2. Графический (график зависимости пути от времени).
3. Аналитический (координата является функцией времени).

Путь (длина пути) ∆s—  длина участка траектории, пройденного материальной точкой с момента начала отсчета времени (является скалярной функцией времени∆s=∆s(t)).

Перемещением называется вектор ∆r = r – r0 ,проведенный из начального положения движущейся точки в положение ее в данный момент времени (приращение радиуса-вектора точки за рассматриваемый промежуток времени).

Скорость – скалярная физическая величина, характеризующая быстроту изменения координаты точки в пространстве. Средняя скорость — отношение пройденного за это время конечного пути DS ко времени.

Ускорение – вектор направленный вдоль вектора приращения скорости dv, модуль ускорения характеризует величину изменения скорости в единицу времени. .

Тангенциальное ускорение — составляющая ускорения, направленная по касательной к траектории.

Нормальное ускорение — составляющая ускорения, направленная перпендикулярно к траектории.

Источник: https://koralexand.ru/?page_id=402